Uma partícula oscila em movimento harmônico simples ao longo de um eixo x entre os pontos x1 = - 35cm e x2= 15 cm. Sabe-se que essa partícula leva 10 s para sair da posição x1e passar na posição x = -10 cm.
 
Analise as seguintes afirmativas referentes ao movimento dessa partícula:
 
I. A amplitude do movimento é igual a 50 cm e a posição de equilíbrio é o ponto <strong>x</strong> = 0.
II. Na posição x = -10 cm, a velocidade da partícula atinge o valor máximo.
III.Nos pontos x1= - 35 cm e x2>= 15 cm, a velocidade da partícula é nula.
IV. O período do movimento é 10 s.
 
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I e II.
b) II e III.
c) I e IV.
d) III e IV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que está oscilando de forma harmônica simples (MHS) ao longo do eixo x entre os pontos $ x_1 = -35 , cm $ e $ x_2 = 15 , cm $. Sabemos também que leva 10 segundos para a partícula sair de $ x_1 $ e passar por $ x = -10 , cm $. Precisamos analisar quais das afirmativas I, II, III e IV estão corretas sobre esse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Melhor Harmônico Simples (MHS). É um tipo de movimento oscilatório onde a força que atua na partícula é diretamente proporcional e oposta ao deslocamento da posição de equilíbrio. A equação geral do MHS é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 3

Amplitude ($ A $) é a máxima distância que a partícula alcança a partir da posição de equilíbrio. No nosso caso, a partícula oscila entre $ x_1 = -35 , cm $ e $ x_2 = 15 , cm $.
Para encontrar a amplitude, calculamos a diferença entre o ponto mais distante e o ponto menos distante em relação à posição de equilíbrio.
Primeiro, vamos encontrar a posição de equilíbrio ($ x_{eq} $). Sabendo que a amplitude é a distância máxima da posição de equilíbrio, podemos usar:
A
Substituindo os valores:
x1 = -35 , cm
Mas parece que há uma inconsistência aqui. O enunciado diz que a partícula vai de $ -35 , cm $ a $ 15 , cm $, então a amplitude é realmente 25 cm, e a posição de equilíbrio fica no meio desses valores.

Passo 4

Vamos recalcular a posição de equilíbrio ($ x_{eq} $). Ela está localizada no ponto médio entre $ x_1 $ e $ x_2 $:
xeq
Então, a posição de equilíbrio não é $ x = 0 $, mas sim $ x = -10 , cm $.

Passo 5

Agora, vamos analisar a velocidade no MHS. A velocidade é máxima na posição de equilíbrio e zero nas extremidades (amplitude).
A equação da velocidade é:
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
Isso mostra que a velocidade depende do seno e, portanto, atinge seu valor máximo quando $ \sin(\omega t + \phi) = \pm 1 $, ou seja, na posição de equilíbrio.

Passo 6

Vamos avaliar cada uma das afirmativas:
I. A amplitude do movimento é igual a 50 cm e a posição de equilíbrio é o ponto $ x = 0 $.
  • Amplitude correta? Calculamos 25 cm, não 50 cm.
  • Posição de equilíbrio? Calculamos $ x = -10 , cm $, não 0.
II. Na posição $ x = -10 , cm $, a velocidade da partícula atinge o valor máximo.
  • Essa posição é a posição de equilíbrio, onde a velocidade realmente é máxima. Correto.
III. Nos pontos $ x_1= -35 , cm $ e $ x_2= 15 , cm $, a velocidade da partícula é nula.
  • Nas extremidades da amplitude, a velocidade é zero. Correto.
IV. O período do movimento é 10 s.
  • O período é o tempo para uma oscilação completa. No enunciado, sabemos que leva 10 s para ir de $ x_1 $ a $ x = -10 , cm $. Isso é apenas um quarto do período total. Então, o período $ T = 4 \times 10 , s = 40 , s $. Portanto, o período não é 10 s.

Resposta

Estão corretas apenas as afirmativas II e III. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) II e III.

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