Uma partícula parte da origem no sentido positivo do eixo x. Sua função horária da velocidade é dada por v(t)=5+5 t^{2}, unidades no SI. Determine a posição da partícula, em relação à origem, quanto t=6,8 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária da velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x e parte da origem. A velocidade é
v(t)=5+5\,t^{2},
e queremos a posição x(t) em relação à origem no instante t=6{,}8\\ \mathrm{s}. O conteúdo aqui é cinemática unidimensional: sabemos que a posição é obtida pela integral da velocidade.

Passo 2

Sabemos que a posição x(t) satisfaz
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t')\,dt'.
Como a partícula parte da origem, temos x(0)=0. Logo
x(t)=\int_{0}^{t}\bigl(5+5\,t'^{2}\bigr)\,dt'.

Passo 3

Vamos calcular a integral
\int\bigl(5+5\,t'^{2}\bigr)\,dt' =\int 5\,dt' +\int 5\,t'^{2}\,dt' =5\,t' +5\cdot\frac{t'^{3}}{3}+C.

Passo 4

Como x(0)=0, substituindo t'=0 na expressão 5\,t' +\tfrac{5}{3}t'^{3}+C C=0. Portanto
x(t)=5\,t +\frac{5}{3}\,t^{3}.

Passo 5

Agora basta avaliar em t=6{,}8\\ \mathrm{s}:
x(6{,}8)=5\cdot6{,}8 +\frac{5}{3}\bigl(6{,}8\bigr)^{3}.

Passo 6

Calculemos cada termo:
5\cdot6{,}8 =34,
(6{,}8)^{2}=46{,}24\quad\Rightarrow\quad(6{,}8)^{3}=46{,}24\times6{,}8=314{,}432,
\frac{5}{3}\times314{,}432=\frac{1\,572{,}16}{3}\approx524{,}0533.
Somando os termos,
x(6{,}8)\approx34 +524{,}0533=558{,}0533\\ \mathrm{m}.

Resposta

A posição da partícula em t=6{,}8\\ \mathrm{s} é aproximadamente
558{,}1\\ \mathrm{m}
em relação à origem.

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