Uma partícula parte do repouso e se move com aceleração constante. Qual a relação entre a velocidade média e a aceleração média nesse intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula parte do repouso v_{0}=0 e se move com aceleração constante num intervalo de tempo \Delta t. Queremos achar a relação entre a velocidade média v_{\mathrm{média}}é e a aceleração média a_{\mathrm{média}}é. Vamos usar as definições
v_{\mathrm{média}}=\frac{\Delta x}{\Delta t},é
a_{\mathrm{média}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}.é

Passo 2

Como a aceleração é constante e partimos do repouso, a variação de velocidade é \Delta v=v-0=v. Logo
a_{\mathrm{média}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{\Delta t} \quad\Longrightarrow\quad v=a_{\mathrm{média}}\;\Delta t.éé

Passo 3

Para aceleração constante, a velocidade varia linearmente, então a velocidade média também pode ser obtida por
v_{\mathrm{média}}=\frac{v_{0}+v}{2}=\frac{0+v}{2}=\frac{v}{2}.é

Passo 4

Substituindo v=a_{\mathrm{média}}\;\Delta té em v_{\mathrm{média}}=\tfrac{v}{2}é, temos
v_{\mathrm{média}} =\frac{1}{2}\,v =\frac{1}{2}\,\bigl(a_{\mathrm{média}}\;\Delta t\bigr) =\frac{1}{2}\,a_{\mathrm{média}}\,\Delta t.ééé

Resposta

v_{\mathrm{média}}=\frac{1}{2}\,a_{\mathrm{média}}\,\Delta t.éé

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