#14
O vetor posição de uma partícula de 3,50 \mathrm{~g} movendo-se no plano x y varia com o tempo de acordo com \overrightarrow{\mathbf{r}_{1}}=(3 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}) t+ 2 \hat{\mathbf{j}} t^{2}, onde t está dado em segundos e \overrightarrow{\mathbf{r}} em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de 5,50 \mathrm{~g} varia conforme \overrightarrow{\mathbf{r}_{2}}=3 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{i}} t^{2}-6 \hat{\mathbf{j}} t. Em t=2,50 \mathrm{~s}, determine (a) o vetor posição do centro de massa, (b) o momento linear do sistema, (c) a velocidade do centro de massa, (d) a aceleração do centro de massa e (e) a força resultante exercida sobre o sistema de duas partículas.

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias de duas partículas no plano xy:
– Partícula 1, massa m_{1}=3,50\:\mathrm{g}, com
\overrightarrow{r}_{1}(t)=3\,t\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(3\,t+2\,t^{2}\bigr)\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{cm})
– Partícula 2, massa m_{2}=5,50\:\mathrm{g}, com
\overrightarrow{r}_{2}(t)=\bigl(3-2\,t^{2}\bigr)\hat{\mathbf{i}}-6\,t\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{cm})
Às t=2{,}50\:\mathrm{s}, pede-se
(a) \overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}}, (b) momento linear \overrightarrow{p}, (c) velocidade do CM \overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}}, (d) aceleração do CM \overrightarrow{a}_{\mathrm{cm}} e (e) força resultante \overrightarrow{F}_{\mathrm{res}}. Para isso usaremos as fórmulas
\overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1}\overrightarrow{r}_{1}+m_{2}\overrightarrow{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}},\quad \overrightarrow{p}=m_{1}\overrightarrow{v}_{1}+m_{2}\overrightarrow{v}_{2},\quad \overrightarrow{F}_{\mathrm{res}}=(m_{1}+m_{2})\,\overrightarrow{a}_{\mathrm{cm}}.

Passo 2

Avaliaremos primeiro \overrightarrow{r}_{1} e \overrightarrow{r}_{2} em t=2{,}50\:\mathrm{s}.
Para t=2{,}50:
\overrightarrow{r}_{1}=(3\cdot2{,}5)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(3\cdot2{,}5+2\cdot(2{,}5)^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{j}} =7{,}5\,\hat{\mathbf{i}}+20\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{cm}),
\overrightarrow{r}_{2}=\bigl(3-2\cdot(2{,}5)^{2}\bigr)\hat{\mathbf{i}}-6\cdot2{,}5\,\hat{\mathbf{j}} =-9{,}5\,\hat{\mathbf{i}}-15\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{cm}).

Passo 3

Calculamos o centro de massa usando
\overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}} =\frac{m_{1}\overrightarrow{r}_{1}+m_{2}\overrightarrow{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{3{,}50\,(7{,}5\,\hat{\mathbf{i}}+20\,\hat{\mathbf{j}}) +5{,}50\,(-9{,}5\,\hat{\mathbf{i}}-15\,\hat{\mathbf{j}})}{9{,}00}.
No numerador obtemos
3{,}50\cdot7{,}5=26{,}25,\quad 3{,}50\cdot20=70,\quad 5{,}50\cdot(-9{,}5)=-52{,}25,\quad 5{,}50\cdot(-15)=-82{,}50.
Logo
\overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}} =\frac{(-26{,}00\,\hat{\mathbf{i}}-12{,}50\,\hat{\mathbf{j}})}{9{,}00} =-\frac{26}{9}\,\hat{\mathbf{i}}-\frac{25}{18}\,\hat{\mathbf{j}} \approx-2{,}89\,\hat{\mathbf{i}}-1{,}39\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{cm}).

Passo 4

Derivamos \overrightarrow{r}_{1} e \overrightarrow{r}_{2} para obter velocidades:
\overrightarrow{v}_{1}=\frac{d\overrightarrow{r}_{1}}{dt} =3\,\hat{\mathbf{i}}+(3+4\,t)\,\hat{\mathbf{j}},\quad \overrightarrow{v}_{2}=\frac{d\overrightarrow{r}_{2}}{dt} =-4\,t\,\hat{\mathbf{i}}-6\,\hat{\mathbf{j}}.
Em t=2{,}50: \overrightarrow{v}_{1}=3\,\hat{\mathbf{i}}+13\,\hat{\mathbf{j}},(cm/s), \overrightarrow{v}_{2}=-10\,\hat{\mathbf{i}}-6\,\hat{\mathbf{j}},(cm/s).
O momento linear total é
\overrightarrow{p}=m_{1}\overrightarrow{v}_{1}+m_{2}\overrightarrow{v}_{2} =3{,}50\,(3\,\hat{\mathbf{i}}+13\,\hat{\mathbf{j}}) +5{,}50\,(-10\,\hat{\mathbf{i}}-6\,\hat{\mathbf{j}}) =-44{,}5\,\hat{\mathbf{i}}+12{,}5\,\hat{\mathbf{j}} \quad(\mathrm{g\cdot cm/s}).

Passo 5

A velocidade do centro de massa é
\overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{\overrightarrow{p}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{-44{,}5\,\hat{\mathbf{i}}+12{,}5\,\hat{\mathbf{j}}}{9{,}00} \approx -4{,}94\,\hat{\mathbf{i}}+1{,}39\,\hat{\mathbf{j}} \quad(\mathrm{cm/s}).

Passo 6

Derivamos \overrightarrow{v}_{1} e \overrightarrow{v}_{2} para achar as acelerações:
\overrightarrow{a}_{1}=\frac{d\overrightarrow{v}_{1}}{dt}=0\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}, \quad \overrightarrow{a}_{2}=\frac{d\overrightarrow{v}_{2}}{dt}=-4\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}.
O CM acelera segundo
\overrightarrow{a}_{\mathrm{cm}} =\frac{m_{1}\overrightarrow{a}_{1}+m_{2}\overrightarrow{a}_{2}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{3{,}50\,(4\,\hat{\mathbf{j}})+5{,}50\,(-4\,\hat{\mathbf{i}})}{9{,}00} =-\frac{22}{9}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{14}{9}\,\hat{\mathbf{j}} \approx -2{,}44\,\hat{\mathbf{i}}+1{,}56\,\hat{\mathbf{j}} \quad(\mathrm{cm/s^{2}}).

Passo 7

A força resultante no sistema é
\overrightarrow{F}_{\mathrm{res}}=(m_{1}+m_{2})\,\overrightarrow{a}_{\mathrm{cm}} =9{,}00\;\bigl(-\tfrac{22}{9}\,\hat{\mathbf{i}}+\tfrac{14}{9}\,\hat{\mathbf{j}}\bigr) =-22\,\hat{\mathbf{i}}+14\,\hat{\mathbf{j}} \quad(\mathrm{g\cdot cm/s^{2}})=(-22\,\hat{\mathbf{i}}+14\,\hat{\mathbf{j}})\,\mathrm{dyn}.

Resposta

(a) \overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}}=-2{,}89\,\hat{\mathbf{i}}-1{,}39\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{cm}
(b) \overrightarrow{p}=-44{,}5\,\hat{\mathbf{i}}+12{,}5\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{g\cdot cm/s}
(c) \overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}}=-4{,}94\,\hat{\mathbf{i}}+1{,}39\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{cm/s}
(d) \overrightarrow{a}_{\mathrm{cm}}=-2{,}44\,\hat{\mathbf{i}}+1{,}56\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{cm/s^{2}}
(e) \overrightarrow{F}_{\mathrm{res}}=-22\,\hat{\mathbf{i}}+14\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{dyn}

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