Uma partícula, partindo do ponto B=(0,0,1), percorre uma curva cujo vetor posição é dado por \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t)), de modo que sua velocidade \sigma^{\prime}(t)=(y(t), t-x(t), 0), para todo t \in[0,2 \pi].
(a) Determine a equação da curva.
(b) Determine os instantes t_{1}, t_{2} \in[0,2 \pi], nos quais sua velocidade escalar, v(t)=\left|\sigma^{\prime}(t)\right|=1.
(c) Calcule o espaço percorido pela partícula no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
  • A posição inicial da partícula é B=(0,0,1), isto é \sigma(0)=(0,0,1).
  • Para todo t\in[0,2\pi], a velocidade é
\sigma'(t)=(y(t),\,t-x(t),\,0).
  • A curva é \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a equação da curva, ou seja achar \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)) explicita para t\in[0,2\pi].
(b) Determinar os instantes t_1,t_2\in[0,2\pi] tais que a velocidade escalar v(t)=\left|\sigma'(t)\right|=1.
(c) Calcular o espaço percorrido (comprimento do arco) pela partícula no intervalo [t_1,t_2].
Observação: as informações relevantes para começar são a relação entre as derivadas de x,y,z dada por \sigma'(t) e a condição inicial \sigma(0)=(0,0,1). A resolução começa montando as equações diferenciais associadas.

Passo 2

Escrever o sistema de equações diferenciais dado por \sigma'(t)\). Como \(\sigma(t)=(x(t),y(t),z(t))\) e \(\sigma'(t)=(y(t),\,t-x(t),\,0)\), obtemos: \[\begin{cases} x'(t)=y(t),\\[4pt] y'(t)=t-x(t),\\[4pt] z'(t)=0. \end{cases}
A ideia é eliminar y\] para obter uma equação só para \(x. Diferenciando a primeira equação temos x''(t)=y'(t). Usando a segunda equação:
x''(t)=t-x(t).
Reescrevendo, obtemos a equação diferencial de segunda ordem linear:
x''(t)+x(t)=t.]

Passo 3

Resolver a equação diferencial \;x''+x=t\;.
  1. Resolver a homogênea associada \;x_h'' + x_h = 0\;. A solução geral da homogênea é
x_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A,B são constantes.
  1. Procurar uma solução particular x_p(t) da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 em t, tentamos x_p(t)=a t + b. Então x_p''(t)=0. Substituindo:
0 + (a t + b) = t \quad\Rightarrow\quad a t + b = t.
Comparando coeficientes obtemos a=1 e b=0. Logo x_p(t)=t.
  1. A solução geral é soma:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=A\cos t + B\sin t + t.
  1. Usar x'(t)=y(t) para escrever y(t):
y(t)=x'(t) = -A\sin t + B\cos t + 1.
  1. Resolver z'(t)=0 z(t)=C constante. Usar condição inicial \sigma(0)=(0,0,1) para encontrar A,B,C.
  • x(0)=0 implica A\cos 0 + B\sin 0 + 0 = A = 0.
  • y(0)=0 implica -A\sin 0 + B\cos 0 + 1 = B + 1 = 0, então B=-1.
  • z(0)=1 implica C=1.
Portanto as funções são
x(t)=A\cos t + B\sin t + t = 0\cdot\cos t -1\cdot\sin t + t = t - \sin t,
y(t)= -A\sin t + B\cos t + 1 = -1\cdot\cos t + 1 = 1-\cos t,
z(t)=1.
Assim a curva é
\sigma(t)=\bigl(t-\sin t,\;1-\cos t,\;1\bigr),\qquad t\in[0,2\pi].

Passo 4

Verificar explicitamente a velocidade com as funções encontradas e obter a fórmula do módulo (velocidade escalar).
Calcular \sigma'(t) a partir de \sigma(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}(t-\sin t)=1-\cos t,
y'(t)=\frac{d}{dt}(1-\cos t)=\sin t,
z'(t)=0.
Isso coincide com a forma dada originalmente porque y(t)=1-\cos t e t-x(t)=t-(t-\sin t)=\sin t.
O módulo da velocidade é
v(t)=\bigl|\sigma'(t)\bigr|=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}.
Simplificar o radicando:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1 -2\cos t +\cos^2 t + \sin^2 t = 2 - 2\cos t.
Usando a identidade trigonométrica \;1-\cos t = 2\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\; temos
2-2\cos t = 4\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right).
Portanto
v(t)=\sqrt{4\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right)} = 2\left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right|.

Passo 5

Determinar os instantes t\in[0,2\pi] tais que v(t)=1. Temos
2\left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right| = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right| = \dfrac{1}{2}.
Resolver \left|\sin\theta\right|=\tfrac{1}{2} com \theta=\dfrac{t}{2}. As soluções básicas em [0,2\pi] para \theta com |\sin\theta|=\tfrac{1}{2} são
\theta=\dfrac{\pi}{6},\\ \dfrac{5\pi}{6},\\ \dfrac{7\pi}{6},\\ \dfrac{11\pi}{6}.
Multiplicando por 2 para obter t:
t=\dfrac{\pi}{3},\\ \dfrac{5\pi}{3},\\ \dfrac{7\pi}{3},\\ \dfrac{11\pi}{3}.
Entre esses, apenas os valores em [0,2\pi] são
t_1=\dfrac{\pi}{3},\qquad t_2=\dfrac{5\pi}{3}.
(Na faixa t\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\bigr] nota-se que \sin\!\tfrac{t}{2}\ge 0, então no intervalo entre esses dois pontos a expressão sem o valor absoluto é v(t)=2\sin\!\tfrac{t}{2}.)

Passo 6

Calcular o espaço percorrido no intervalo \bigl[t_1,t_2\bigr]=\bigl[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\bigr]. O espaço percorrido (comprimento do arco) é
S=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = \int_{\pi/3}^{5\pi/3} 2\left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right|\,dt.
Como observado, em \left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] temos \sin\!\tfrac{t}{2}\ge 0, então o valor absoluto pode ser removido:
S=\int_{\pi/3}^{5\pi/3} 2\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\,dt.
Fazer a substituição u=\dfrac{t}{2}\Rightarrow dt=2\,du. Quando t=\dfrac{\pi}{3}, u=\dfrac{\pi}{6}. Quando t=\dfrac{5\pi}{3}, u=\dfrac{5\pi}{6}. Assim
S=\int_{u=\pi/6}^{5\pi/6} 2\sin(u)\cdot 2\,du = 4\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin u\,du.
Calcular a integral:
4\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin u\,du = 4\bigl[-\cos u\bigr]_{\pi/6}^{5\pi/6} =4\bigl(-\cos(5\pi/6)+\cos(\pi/6)\bigr).
Como \cos(5\pi/6)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
-\cos(5\pi/6)+\cos(\pi/6) = -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)+\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.
Logo
S = 4\sqrt{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma(t)=\bigl(t-\sin t,\;1-\cos t,\;1\bigr),\quad t\in[0,2\pi]
(b) \displaystyle t_{1}=\dfrac{\pi}{3},\quad t_{2}=\dfrac{5\pi}{3}
(c) \displaystyle \text{Espaço percorrido } S=4\sqrt{3}ç

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