Uma partícula, partindo do ponto B=(0,0,1), percorre uma curva cujo vetor posição é dado por \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t)), de modo que sua velocidade \sigma^{\prime}(t)=(y(t), t-x(t), 0), para todo t \in[0,2 \pi].
(a) Determine a equação da curva.
(b) Determine os instantes t_{1}, t_{2} \in[0,2 \pi], nos quais sua velocidade escalar, v(t)=\left|\sigma^{\prime}(t)\right|=1.
(c) Calcule o espaço percorido pela partícula no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right].
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
A posição inicial da partícula é B=(0,0,1), isto é \sigma(0)=(0,0,1).
Para todo t\in[0,2\pi], a velocidade é
\sigma'(t)=(y(t),\,t-x(t),\,0).
A curva é \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a equação da curva, ou seja achar \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)) explicita para t\in[0,2\pi].
(b) Determinar os instantes t_1,t_2\in[0,2\pi] tais que a velocidade escalar v(t)=\left|\sigma'(t)\right|=1.
(c) Calcular o espaço percorrido (comprimento do arco) pela partícula no intervalo [t_1,t_2].
Observação: as informações relevantes para começar são a relação entre as derivadas de x,y,z dada por \sigma'(t) e a condição inicial \sigma(0)=(0,0,1). A resolução começa montando as equações diferenciais associadas.
Passo 2
Escrever o sistema de equações diferenciais dado por \sigma'(t)\). Como \(\sigma(t)=(x(t),y(t),z(t))\) e \(\sigma'(t)=(y(t),\,t-x(t),\,0)\), obtemos:
\[\begin{cases} x'(t)=y(t),\\[4pt] y'(t)=t-x(t),\\[4pt] z'(t)=0. \end{cases}
A ideia é eliminar y\] para obter uma equação só para \(x. Diferenciando a primeira equação temos x''(t)=y'(t). Usando a segunda equação:
x''(t)=t-x(t).
Reescrevendo, obtemos a equação diferencial de segunda ordem linear:
x''(t)+x(t)=t.]
Passo 3
Resolver a equação diferencial \;x''+x=t\;.
Resolver a homogênea associada \;x_h'' + x_h = 0\;. A solução geral da homogênea é
x_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A,B são constantes.
Procurar uma solução particular x_p(t) da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 em t, tentamos x_p(t)=a t + b. Então x_p''(t)=0. Substituindo:
0 + (a t + b) = t \quad\Rightarrow\quad a t + b = t.
Comparando coeficientes obtemos a=1 e b=0. Logo x_p(t)=t.
A solução geral é soma:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=A\cos t + B\sin t + t.
Usar x'(t)=y(t) para escrever y(t):
y(t)=x'(t) = -A\sin t + B\cos t + 1.
Resolver z'(t)=0 dá z(t)=C constante. Usar condição inicial \sigma(0)=(0,0,1) para encontrar A,B,C.
x(0)=0 implica A\cos 0 + B\sin 0 + 0 = A = 0.
y(0)=0 implica -A\sin 0 + B\cos 0 + 1 = B + 1 = 0, então B=-1.
z(0)=1 implica C=1.
Portanto as funções são
x(t)=A\cos t + B\sin t + t = 0\cdot\cos t -1\cdot\sin t + t = t - \sin t,
y(t)= -A\sin t + B\cos t + 1 = -1\cdot\cos t + 1 = 1-\cos t,
(Na faixa t\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\bigr] nota-se que \sin\!\tfrac{t}{2}\ge 0, então no intervalo entre esses dois pontos a expressão sem o valor absoluto é v(t)=2\sin\!\tfrac{t}{2}.)
Passo 6
Calcular o espaço percorrido no intervalo \bigl[t_1,t_2\bigr]=\bigl[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\bigr]. O espaço percorrido (comprimento do arco) é