A posição de um objeto A em cada instante t (horas) é dada por \sigma_{1}(t)=(300 t, 1670 t+ \left.10 t^{2}, 500+60 t\right)(\mathrm{km}) e a de outro objeto B é dada por \sigma_{2}(t)=(100+100 t,-80+880 t, 280 t). Pergunta-se:
(a) Os objetos se chocarão?
(b) Em que pontos as curvas de suas trajetórias se interceptam?
(c) Descreva a trajetória do objeto B.
(d) Encontre a velocidade do objeto A no instante t=0.
Passo 1
O enunciado fornece as posições em função do tempo (em horas) dos dois objetos e faz quatro perguntas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
O que se pede:
(a) Determinar se os objetos se chocarão (ou seja, se existe um mesmo instante t tal que \sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t)).
(b) Encontrar em que ponto(s) as curvas das trajetórias se interceptam (isto é, existem instantes possivelmente diferentes t para A e para B tais que suas posições coincidem?).
(c) Descrever a trajetória do objeto B (geometricamente e, se for o caso, dar o vetor velocidade).
(d) Calcular a velocidade do objeto A no instante t=0.
Passo 2
Definindo colisão: por “se chocar” entendemos que exista um instante \tau tal que
\sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau).
Isto gera um sistema de três equações para a mesma incógnita \tau. Vou escrever as três coordenadas igualadas:
Como 837{,}5 \neq 360, a segunda equação não é satisfeita por \tau=\tfrac{1}{2}. Portanto não existe \tau comum que satisfaça todas as três equações; conclusão: não há colisão simultânea.
Passo 4
Resumo da conclusão sobre (a): não existe tempo único \tau tal que \sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau). Logo, os objetos não se chocarão (no sentido de ocuparem o mesmo ponto no mesmo instante).
Passo 5
Agora encontrar interseção das curvas (pergunta (b)): aqui permitimos parâmetros diferentes para cada objeto. Chamo t o parâmetro de A e s o parâmetro de B. Queremos soluções de
Interpretação: as curvas se interceptam exatamente num único ponto, com o objeto A passando por esse ponto em t=1 hora e o objeto B passando por esse mesmo ponto em t=2 horas. Como os instantes são diferentes, não houve colisão simultânea.
Passo 9
Descrever a trajetória do objeto B (pergunta (c)). A expressão paramétrica é
Isto é uma reta afim (movimento retilíneo). O vetor diretor é
\mathbf{v}_{2}=(100,\,880,\,280),
que pode ser simplificado por um fator comum 20 para a direção:
\mathbf{v}_{2}\propto(5,\,44,\,14).
Como as componentes são funções lineares de t, a velocidade é constante e igual ao vetor \mathbf{v}_{2} (em km/h). Portanto B descreve uma reta no espaço, com movimento retilíneo uniforme.
Passo 10
Agora encontrar a velocidade do objeto A no instante t=0 (pergunta (d)). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Breve explicação: cada componente da velocidade é a derivada da respectiva componente da posição; como a segunda coordenada de \sigma_{1} tem termo quadrático 10\,t^{2}, aparece 20\,t na velocidade.
Resposta
(a) Não — não existe \tau tal que \sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau).
(b) As trajetórias se interceptam no ponto (300,1680,560) km; isso ocorre quando t=1 para A e t=2 para B.
(c) A trajetória de B é uma reta: \sigma_{2}(t)=(100,-80,0)+t(100,880,280) (direção proporcional a (5,44,14)); movimento retilíneo uniforme com \mathbf{v}_{2}=(100,880,280) km/h.
(d) \mathbf{v}_{1}(0)=(300,1670,60) km/h.