A posição de um objeto A em cada instante t (horas) é dada por \sigma_{1}(t)=(300 t, 1670 t+ \left.10 t^{2}, 500+60 t\right)(\mathrm{km}) e a de outro objeto B é dada por \sigma_{2}(t)=(100+100 t,-80+880 t, 280 t). Pergunta-se:
(a) Os objetos se chocarão?
(b) Em que pontos as curvas de suas trajetórias se interceptam?
(c) Descreva a trajetória do objeto B.
(d) Encontre a velocidade do objeto A no instante t=0.

Passo 1

O enunciado fornece as posições em função do tempo (em horas) dos dois objetos e faz quatro perguntas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
Dados:
  • Posição do objeto A:
\sigma_{1}(t)=(300\,t,\;1670\,t+10\,t^{2},\;500+60\,t)\quad(\text{km})
  • Posição do objeto B:
\sigma_{2}(t)=(100+100\,t,\;-80+880\,t,\;280\,t)\quad(\text{km})
O que se pede:
(a) Determinar se os objetos se chocarão (ou seja, se existe um mesmo instante t tal que \sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t)).
(b) Encontrar em que ponto(s) as curvas das trajetórias se interceptam (isto é, existem instantes possivelmente diferentes t para A e para B tais que suas posições coincidem?).
(c) Descrever a trajetória do objeto B (geometricamente e, se for o caso, dar o vetor velocidade).
(d) Calcular a velocidade do objeto A no instante t=0.

Passo 2

Definindo colisão: por “se chocar” entendemos que exista um instante \tau tal que
\sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau).
Isto gera um sistema de três equações para a mesma incógnita \tau. Vou escrever as três coordenadas igualadas:
300\,\tau = 100+100\,\tau,
1670\,\tau+10\,\tau^{2} = -80+880\,\tau,
500+60\,\tau = 280\,\tau.

Passo 3

Resolver a primeira equação para \tau:
300\,\tau = 100+100\,\tau \quad\Rightarrow\quad 200\,\tau = 100 \quad\Rightarrow\quad \tau = \tfrac{1}{2}.
Agora verificar se \tau=\tfrac{1}{2} satisfaz as outras duas equações.
Segunda equação com \tau=\tfrac{1}{2}:
1670\cdot\tfrac{1}{2}+10\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 835 + 10\cdot\tfrac{1}{4} = 835 + 2,5 = 837{,}5.
Direito da segunda equação com \tau=\tfrac{1}{2}:
-80 + 880\cdot\tfrac{1}{2} = -80 + 440 = 360.
Como 837{,}5 \neq 360, a segunda equação não é satisfeita por \tau=\tfrac{1}{2}. Portanto não existe \tau comum que satisfaça todas as três equações; conclusão: não há colisão simultânea.

Passo 4

Resumo da conclusão sobre (a): não existe tempo único \tau tal que \sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau). Logo, os objetos não se chocarão (no sentido de ocuparem o mesmo ponto no mesmo instante).

Passo 5

Agora encontrar interseção das curvas (pergunta (b)): aqui permitimos parâmetros diferentes para cada objeto. Chamo t o parâmetro de A e s o parâmetro de B. Queremos soluções de
\sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(s),
ou seja o sistema
300\,t = 100 + 100\,s, \tag{1}
1670\,t + 10\,t^{2} = -80 + 880\,s, \tag{2}
500 + 60\,t = 280\,s. \tag{3}

Passo 6

Resolver o sistema: da eq. (1) isolamos s:
100 + 100\,s = 300\,t \quad\Rightarrow\quad s = 3\,t - 1.
Da eq. (3) isolamos s:
280\,s = 500 + 60\,t \quad\Rightarrow\quad s = \frac{500 + 60\,t}{280}.
Simplificando o quociente dividindo por 20:
s = \frac{25 + 3\,t}{14}.
Agora igualamos as duas expressões para s:
3\,t - 1 = \frac{25 + 3\,t}{14}.
Multiplicando por 14:
42\,t - 14 = 25 + 3\,t \quad\Rightarrow\quad 42\,t - 3\,t = 25 + 14 \quad\Rightarrow\quad 39\,t = 39.
Portanto
t = 1.
Substituindo em s = 3\,t - 1 obtemos
s = 3\cdot 1 - 1 = 2.

Passo 7

Verificação na equação (2): para t=1 o lado esquerdo é
1670\cdot 1 + 10\cdot 1^{2} = 1680,
e para s=2 o lado direito é
-80 + 880\cdot 2 = -80 + 1760 = 1680.
Como coincide, a solução é consistente.
Agora calcular o ponto de interseção (as coordenadas): usar \sigma_{1}(1) (ou \sigma_{2}(2)):
\sigma_{1}(1) = (300\cdot 1,\;1670\cdot 1 + 10\cdot 1^{2},\;500 + 60\cdot 1) = (300,\;1680,\;560)\\ \text{(km)}.

Passo 8

Interpretação: as curvas se interceptam exatamente num único ponto, com o objeto A passando por esse ponto em t=1 hora e o objeto B passando por esse mesmo ponto em t=2 horas. Como os instantes são diferentes, não houve colisão simultânea.

Passo 9

Descrever a trajetória do objeto B (pergunta (c)). A expressão paramétrica é
\sigma_{2}(t) = (100,\,-80,\,0) + t\,(100,\,880,\,280).
Isto é uma reta afim (movimento retilíneo). O vetor diretor é
\mathbf{v}_{2}=(100,\,880,\,280),
que pode ser simplificado por um fator comum 20 para a direção:
\mathbf{v}_{2}\propto(5,\,44,\,14).
Como as componentes são funções lineares de t, a velocidade é constante e igual ao vetor \mathbf{v}_{2} (em km/h). Portanto B descreve uma reta no espaço, com movimento retilíneo uniforme.

Passo 10

Agora encontrar a velocidade do objeto A no instante t=0 (pergunta (d)). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
\mathbf{v}_{1}(t)=\sigma_{1}'(t)=\bigl(300,\;1670+20\,t,\;60\bigr).
Avaliando em t=0:
\mathbf{v}_{1}(0)=(300,\;1670,\;60)\quad(\text{km/h}).
Breve explicação: cada componente da velocidade é a derivada da respectiva componente da posição; como a segunda coordenada de \sigma_{1} tem termo quadrático 10\,t^{2}, aparece 20\,t na velocidade.

Resposta

(a) Não — não existe \tau tal que \sigma_{1}(\tau)=\sigma_{2}(\tau).
(b) As trajetórias se interceptam no ponto (300,1680,560) km; isso ocorre quando t=1 para A e t=2 para B.
(c) A trajetória de B é uma reta: \sigma_{2}(t)=(100,-80,0)+t(100,880,280) (direção proporcional a (5,44,14)); movimento retilíneo uniforme com \mathbf{v}_{2}=(100,880,280) km/h.
(d) \mathbf{v}_{1}(0)=(300,1670,60) km/h.

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