Um pássaro voa segundo uma curva definida por \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t)), de modo que \sigma^{\prime \prime}(t)+ 2 \sigma^{\prime}(t)-3 \sigma(t)=\left(\cos t, 4,4 e^{-3 t}\right), partindo do ponto inicial ( 0,1,3 ), com velocidade vetorial inicial (0,5,4). Determine a posição do pássaro em cada instante t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A trajetória do pássaro é uma curva \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)).
  • A curva satisfaz a equação diferencial vetorial de segunda ordem
\sigma''(t)+2\sigma'(t)-3\sigma(t)=\bigl(\cos t,\;4,\;4e^{-3t}\bigr).
  • Condições iniciais:
\sigma(0)=(0,1,3), \qquad \sigma'(0)=(0,5,4).
O que se pede: determinar a posição \sigma(t) para todo t (ou seja, encontrar x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea associada:
\sigma_h''(t)+2\sigma_h'(t)-3\sigma_h(t)=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo e^{rt}. Substituindo dá a equação característica
r^{2}+2r-3=0.
Resolvendo:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\Rightarrow r=1,\\\ -3.
Logo a solução homogênea vetorial tem a forma
\sigma_h(t)=A e^{t}+B e^{-3t},
onde A e B são vetores constantes desconhecidos (ou seja, A=(A_1,A_2,A_3), B=(B_1,B_2,B_3)). Explicação curta: cada coordenada satisfaz a mesma equação homogênea, por isso a solução é combinação linear de e^{t} e e^{-3t} em cada coordenada.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular \sigma_p(t) da equação não homogênea. Como o lado direito é (\cos t,\,4,\,4e^{-3t}), é conveniente achar uma solução particular coordenada a coordenada:
  • Para x: resolver x''+2x'-3x=\cos t.
  • Para y: resolver y''+2y'-3y=4.
  • Para z: resolver z''+2z'-3z=4e^{-3t}.
Vou aplicar o método dos coeficientes indeterminados (tentar formas simples compatíveis com o lado direito). Sempre que a função de forçante coincide com uma solução da homogênea, multiplica-se a tentativa por t (resonância). Vou tratar cada coordenada separadamente.

Passo 4

Resolver o caso de x: tentamos uma solução da forma
x_p(t)=a\cos t + b\sin t,
com a,b constantes a determinar. Calculamos derivadas:
x_p'(t)=-a\sin t + b\cos t, \qquad x_p''(t)=-a\cos t - b\sin t.
Substituindo em x''+2x'-3x=\cos t:
(-a\cos t - b\sin t)+2(-a\sin t + b\cos t)-3(a\cos t + b\sin t)=\cos t.
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
\bigl(-a+2b-3a\bigr)\cos t + \bigl(-b-2a-3b\bigr)\sin t = \cos t.
Isso dá o sistema para a,b:
-4a+2b=1, \qquad -2a-4b=0.
Da segunda equação -2a-4b=0\Rightarrow a=-2b. Substituindo na primeira:
-4(-2b)+2b=1 \Rightarrow 8b+2b=1 \Rightarrow 10b=1 \Rightarrow b=\tfrac{1}{10},
e então
a=-2b=-\tfrac{1}{5}.
Portanto
x_p(t)=-\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{1}{10}\sin t.

Passo 5

Resolver o caso de y: forçante é constante 4. Tentamos y_p(t)=C constante. Então y_p'=y_p''=0 e a equação fica
-3C=4 \Rightarrow C=-\tfrac{4}{3}.
Logo
y_p(t)=-\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Resolver o caso de z: forçante é 4e^{-3t}. Note que e^{-3t} corresponde a uma raiz r=-3 da equação característica, isto é, é solução da homogênea -> há ressonância. Então multiplicamos por t e tentamos
z_p(t)=c\,t\,e^{-3t},
com c constante. Calculamos derivadas (com cuidado):
z_p'(t)=c e^{-3t}-3c t e^{-3t},
z_p''(t)=(-6c+9c t)e^{-3t}.
Agora avaliaremos z_p''+2z_p'-3z_p:
z_p''+2z_p'-3z_p = \bigl(-6c+9c t\bigr)e^{-3t} +2\bigl(c e^{-3t}-3c t e^{-3t}\bigr) -3\bigl(c t e^{-3t}\bigr).
Agrupando os termos em t e^{-3t} e em e^{-3t}:
  • Coeficiente de t e^{-3t}: 9c -6c -3c =0.
  • Coeficiente de e^{-3t} (termo sem t): -6c +2c = -4c.
    Então
z_p''+2z_p'-3z_p = (-4c)e^{-3t}.
Queremos que isso seja igual a 4e^{-3t}, logo -4c=4\Rightarrow c=-1. Assim
z_p(t) = -t e^{-3t}.

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
\sigma(t)=A e^{t}+B e^{-3t} + \sigma_p(t),
onde
\sigma_p(t)=\Bigl(x_p(t),\,y_p(t),\,z_p(t)\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos t+\tfrac{1}{10}\sin t,\; -\tfrac{4}{3},\; -t e^{-3t}\Bigr).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} x(t)=A_1 e^{t}+B_1 e^{-3t} -\tfrac{1}{5}\cos t+\tfrac{1}{10}\sin t,\\[4pt] y(t)=A_2 e^{t}+B_2 e^{-3t} -\tfrac{4}{3},\\[4pt] z(t)=A_3 e^{t}+B_3 e^{-3t} -t e^{-3t}. \end{cases}]

Passo 8

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B. Primeiro em t=0:
\sigma(0)=A+B+\sigma_p(0)=(0,1,3).
Calculamos \sigma_p(0):
x_p(0)=-\tfrac{1}{5}\cos0+\tfrac{1}{10}\sin0=-\tfrac{1}{5}, \qquad y_p(0)=-\tfrac{4}{3}, \qquad z_p(0)=-0=0.
Logo
A+B=(0,1,3)-\sigma_p(0)=\Bigl(0+\tfrac{1}{5},\;1+\tfrac{4}{3},\;3-0\Bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{5},\;\tfrac{7}{3},\;3\Bigr).
Isto fornece as equações:
A_1+B_1=\tfrac{1}{5},\quad A_2+B_2=\tfrac{7}{3},\quad A_3+B_3=3.

Passo 9

Agora obtemos \sigma'(t) e impomos \sigma'(0)=(0,5,4). Primeiro calculemos as derivadas das partes particulares em t=0:
  • Para x_p(t)=-\tfrac{1}{5}\cos t+\tfrac{1}{10}\sin t,
x_p'(t)=\tfrac{1}{5}\sin t + \tfrac{1}{10}\cos t \Rightarrow x_p'(0)=\tfrac{1}{10}.
  • Para y_p(t)=-\tfrac{4}{3}, y_p'(t)=0.
  • Para z_p(t)=-t e^{-3t}, já calculamos z_p'(t)= -e^{-3t}+3t e^{-3t}, então z_p'(0)=-1.
A derivada geral é
\sigma'(t)=A e^{t}-3B e^{-3t} + \sigma_p'(t).
Em t=0 isso dá
A-3B+\sigma_p'(0)=(0,5,4).
Escrevendo coordenada a coordenada e substituindo \sigma_p'(0):
\begin{cases} A_1-3B_1 + \tfrac{1}{10} = 0,\\[4pt] A_2-3B_2 + 0 = 5,\\[4pt] A_3-3B_3 -1 = 4. \end{cases}
Ou seja
A_1-3B_1=-\tfrac{1}{10},\quad A_2-3B_2=5,\quad A_3-3B_3=5.]

Passo 10

Resolver os sistemas lineares por coordenada (cada par [A_i,B_i) é independente):
Para x:
\begin{cases} A_1+B_1=\tfrac{1}{5},\\\ A_1-3B_1=-\tfrac{1}{10}. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: 4B_1=\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{10}\], logo \[B_1=\tfrac{3}{40}. Então A_1=\tfrac{1}{5}-B_1=\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{40}=\tfrac{1}{8}.
Para y:
\begin{cases} A_2+B_2=\tfrac{7}{3},\\\ A_2-3B_2=5. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: 4B_2=\tfrac{7}{3}-5=\tfrac{7-15}{3}=-\tfrac{8}{3}\], então \[B_2=-\tfrac{2}{3}. Então A_2=\tfrac{7}{3}-B_2=\tfrac{7}{3}+\tfrac{2}{3}=3.
Para z:
\begin{cases} A_3+B_3=3,\\\ A_3-3B_3=5. \end{cases}
Subtraindo: 4B_3=3-5=-2\], logo \(B_3=-\tfrac{1}{2}. Então A_3=3 - B_3=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}.

Passo 11

Agora substituímos A_i,B_i na solução geral. As componentes finais são:
\begin{aligned} x(t)&= \tfrac{1}{8} e^{t} + \tfrac{3}{40} e^{-3t} -\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{1}{10}\sin t,\\[4pt] y(t)&= 3 e^{t} -\tfrac{2}{3} e^{-3t} -\tfrac{4}{3},\\[4pt] z(t)&= \tfrac{7}{2} e^{t} -\tfrac{1}{2} e^{-3t} - t e^{-3t}. \end{aligned}]

Resposta

\sigma(t)=\Bigl(\tfrac{1}{8} e^{t} + \tfrac{3}{40} e^{-3t} -\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{1}{10}\sin t,\; 3 e^{t} -\tfrac{2}{3} e^{-3t} -\tfrac{4}{3},\; \tfrac{7}{2} e^{t} -\tfrac{1}{2} e^{-3t} - t e^{-3t}\Bigr)

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