Um pássaro voa segundo uma curva definida por \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t)), de modo que \sigma^{\prime \prime}(t)+ 2 \sigma^{\prime}(t)-3 \sigma(t)=\left(\cos t, 4,4 e^{-3 t}\right), partindo do ponto inicial ( 0,1,3 ), com velocidade vetorial inicial (0,5,4). Determine a posição do pássaro em cada instante t.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A trajetória do pássaro é uma curva \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)).
A curva satisfaz a equação diferencial vetorial de segunda ordem
onde A e B são vetores constantes desconhecidos (ou seja, A=(A_1,A_2,A_3), B=(B_1,B_2,B_3)). Explicação curta: cada coordenada satisfaz a mesma equação homogênea, por isso a solução é combinação linear de e^{t} e e^{-3t} em cada coordenada.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular \sigma_p(t) da equação não homogênea. Como o lado direito é (\cos t,\,4,\,4e^{-3t}), é conveniente achar uma solução particular coordenada a coordenada:
Para x: resolver x''+2x'-3x=\cos t.
Para y: resolver y''+2y'-3y=4.
Para z: resolver z''+2z'-3z=4e^{-3t}.
Vou aplicar o método dos coeficientes indeterminados (tentar formas simples compatíveis com o lado direito). Sempre que a função de forçante coincide com uma solução da homogênea, multiplica-se a tentativa por t (resonância). Vou tratar cada coordenada separadamente.
Passo 4
Resolver o caso de x: tentamos uma solução da forma
x_p(t)=a\cos t + b\sin t,
com a,b constantes a determinar. Calculamos derivadas:
x_p'(t)=-a\sin t + b\cos t, \qquad x_p''(t)=-a\cos t - b\sin t.
Substituindo em x''+2x'-3x=\cos t:
(-a\cos t - b\sin t)+2(-a\sin t + b\cos t)-3(a\cos t + b\sin t)=\cos t.
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
\bigl(-a+2b-3a\bigr)\cos t + \bigl(-b-2a-3b\bigr)\sin t = \cos t.
Isso dá o sistema para a,b:
-4a+2b=1, \qquad -2a-4b=0.
Da segunda equação -2a-4b=0\Rightarrow a=-2b. Substituindo na primeira:
Resolver o caso de y: forçante é constante 4. Tentamos y_p(t)=C constante. Então y_p'=y_p''=0 e a equação fica
-3C=4 \Rightarrow C=-\tfrac{4}{3}.
Logo
y_p(t)=-\tfrac{4}{3}.
Passo 6
Resolver o caso de z: forçante é 4e^{-3t}. Note que e^{-3t} corresponde a uma raiz r=-3 da equação característica, isto é, é solução da homogênea -> há ressonância. Então multiplicamos por t e tentamos
z_p(t)=c\,t\,e^{-3t},
com c constante. Calculamos derivadas (com cuidado):
z_p'(t)=c e^{-3t}-3c t e^{-3t},
z_p''(t)=(-6c+9c t)e^{-3t}.
Agora avaliaremos z_p''+2z_p'-3z_p:
z_p''+2z_p'-3z_p = \bigl(-6c+9c t\bigr)e^{-3t} +2\bigl(c e^{-3t}-3c t e^{-3t}\bigr) -3\bigl(c t e^{-3t}\bigr).
Agrupando os termos em t e^{-3t} e em e^{-3t}:
Coeficiente de t e^{-3t}: 9c -6c -3c =0.
Coeficiente de e^{-3t} (termo sem t): -6c +2c = -4c.
Então
z_p''+2z_p'-3z_p = (-4c)e^{-3t}.
Queremos que isso seja igual a 4e^{-3t}, logo -4c=4\Rightarrow c=-1. Assim
z_p(t) = -t e^{-3t}.
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Subtraindo a segunda da primeira: 4B_1=\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{10}\], logo \[B_1=\tfrac{3}{40}. Então A_1=\tfrac{1}{5}-B_1=\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{40}=\tfrac{1}{8}.
Subtraindo a segunda da primeira: 4B_2=\tfrac{7}{3}-5=\tfrac{7-15}{3}=-\tfrac{8}{3}\], então \[B_2=-\tfrac{2}{3}. Então A_2=\tfrac{7}{3}-B_2=\tfrac{7}{3}+\tfrac{2}{3}=3.