Uma partícula está confinada entre duas paredes rígidas separadas pela distância L. A partícula está no seu estado de energia mais baixa, ou seja, seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de a partícula estar entre os pontos
x=2 L / 3 e x=L

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito de largura L, com paredes rígidas em x=0 e x=L. Ela está no estado fundamental. Queremos a probabilidade de encontrá-la em 2L/3 <= x <= L. Vamos usar a função de onda do estado fundamental e integrar |psi|^2 nesse intervalo.

Passo 2

A função de onda normalizada do estado fundamental é
psi1(x)=raiz2Lsin!l(pi xLr),
para 0<= x<= L. A probabilidade pedida é
P=integral2L/3^L|psi1(x)|^2,dx =integral2L/3^L2Lsin^2!l(pi xLr),dx

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2theta=1-cos(2theta)2,
com theta=pi xL. Assim
sin^2!l(pi xLr) =1-cos!l(tfrac2pi xLr)2,
e
P=2Lintegral2L/3^L1-cos!l(tfrac2pi xLr)2,dx =1Lintegral2L/3^Ll[1-cos!l(tfrac2pi xLr)r]dx

Passo 4

Calculamos a primitiva de 1-cos(2pi x/L):
integrall[1-cos!l(tfrac2pi xLr)r]dx =x-L2pisin!l(2pi xLr)
Logo
P=1Ll[;x-L2pisin!l(tfrac2pi xLr)r]x=2L/3^x=L

Passo 5

Avalia em x=L:
L-L2pisin(2pi)=L,
e em x=2L/3:
2L3-L2pisin!l(tfrac4pi3r) =2L3-L2pil(-tfracraiz32r) =2L3+Lraiz34pi
Subtraindo e dividindo por L,
P=1-l(tfrac23+tfracraiz34pir) =13-raiz34pi

Resposta

P=13-raiz34pi

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