Uma partícula no poço quadrado infinito de largura a tem como função de onda inicial \Psi(x, 0)=N\left[\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)\right], a qual nada mais é que uma mistura equilibrada dos dois primeiros auto-estados daquele sistema. Calcule a constante N e os valores esperados \langle x\rangle e \langle p\rangle para t>0.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no poço infinito de largura a, cujo autoestados estacionários são
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),
com energias
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}.
A função de onda inicial é
\Psi(x,0)=N\bigl[\psi_1(x)+\psi_2(x)\bigr].
Precisamos (i) achar a constante de normalização N e (ii) calcular os valores esperados \langle x\rangle e \langle p\rangle para t>0.

Passo 2

Normalização exige
1=\int_0^a\bigl|\Psi(x,0)\bigr|^2dx =\bigl|N\bigr|^2\int_0^a\bigl[\psi_1^2+\psi_2^2+2\psi_1\psi_2\bigr]dx.
Como \psi_1 e \psi_2 são ortonormais,
\int_0^a\psi_1^2dx =\int_0^a\psi_2^2dx=1, \quad \int_0^a\psi_1\psi_2\,dx=0.
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1=\bigl|N\bigr|^2\,(1+1) =2\bigl|N\bigr|^2 \quad\Longrightarrow\quad N=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Para t>0, cada autoestado evolui com um fator de fase:
\Psi(x,t) =\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl[\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar} +\psi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}\Bigr].

Passo 4

Cálculo de \langle x\rangle(t):
\langle x\rangle =\int_0^a\Psi^*(x,t)\,x\,\Psi(x,t)\,dx =\frac12\Bigl[\langle x\rangle_{11}+\langle x\rangle_{22} +2\Re\bigl(e^{i\omega_{12}t}\langle\psi_1|x|\psi_2\rangle\bigr)\Bigr],
onde \omega_{12}=(E_2-E_1)/\hbar. Sabe‐se que
\langle x\rangle_{11} =\langle x\rangle_{22} =\frac{a}{2},
e
\langle\psi_1|x|\psi_2\rangle =\int_0^a\psi_1\,x\,\psi_2\,dx =-\frac{16a}{9\pi^2}.
Portanto
\langle x\rangle(t) =\frac{a}{2} +\Re\!\Bigl(-\frac{16a}{9\pi^2}e^{-i\omega_{12}t}\Bigr) =\frac{a}{2} -\frac{16a}{9\pi^2}\cos\bigl(\omega_{12}t\bigr).

Passo 5

Cálculo de \langle p\rangle(t) via operador momentum \hat p=-i\hbar\,\partial_x ou usando \langle p\rangle=m\,d\langle x\rangle/dt. Pela última,
\frac{d\langle x\rangle}{dt} =\frac{16a}{9\pi^2}\,\omega_{12}\,\sin(\omega_{12}t),
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\langle p\rangle(t) =m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt} =\frac{16a m\,\omega_{12}}{9\pi^2}\,\sin(\omega_{12}t).
Substituindo \omega_{12}=(E_2-E_1)/\hbar=3\pi^2\hbar/(2ma^2), obtém‐se
\langle p\rangle(t) =\frac{8\hbar}{3a}\,\sin\!\bigl(\omega_{12}t\bigr).

Resposta

N=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}
\langle x\rangle(t) =\frac{a}{2} -\frac{16a}{9\pi^2}\cos\!\bigl((E_2-E_1)t/\hbar\bigr), \qquad \langle p\rangle(t) =\frac{8\hbar}{3a}\,\sin\!\bigl((E_2-E_1)t/\hbar\bigr).

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