Um poço de potencial quadrado infinito unidimensional tem uma largura a. Repentinamente, a largura do poço duplica. Qual é a probabilidade de que a partícula que estava inicialmente no estado fundamental \psi_{1}(x), permaneça no estado fundamental que corresponde ao novo poço, a saber \widetilde{\psi}_{1}(x) ?

Passo 1

O enunciado trata de um poço de potencial infinito unidimensional de largura a que, de forma súbita, tem sua largura dobrada para 2a. Inicialmente a partícula está no estado fundamental \psi_{1}(x) do poço original e, após a expansão rápida (quench), queremos calcular a probabilidade de encontrá-la no novo estado fundamental \widetilde\psi_{1}(x). Para resolver isso usaremos projeção de estados (produto interno) e uma identidade trigonométrica para avaliar a integral de sobreposição.

Passo 2

Escrevemos as funções de onda:
Para 0<x<a (e zero fora desse intervalo)
\psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{a}\Bigr),
e para 0<x<2a (e zero fora)
\widetilde\psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{1}{a}}\;\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{2a}\Bigr).

Passo 3

A amplitude de probabilidade de ficar no novo fundamental é
\alpha=\langle\widetilde\psi_{1}|\psi_{1}\rangle =\int_{0}^{2a}\widetilde\psi_{1}(x)\,\psi_{1}(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{2a}\Bigr)\, \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{a}\Bigr)\,\mathrm{d}x =\frac{\sqrt{2}}{a}\int_{0}^{a}\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{a}\Bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Usamos a identidade
\sin A\,\sin B=\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr]
com A=\tfrac{\pi x}{2a} e B=\tfrac{\pi x}{a}. Então
\int_{0}^{a}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)\mathrm{d}x =\tfrac12\int_{0}^{a}\bigl[\cos\!\bigl(-\tfrac{\pi x}{2a}\bigr) -\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{2a}\bigr)\bigr]\mathrm{d}x =\tfrac12\Bigl(\frac{2a}{\pi}+\frac{2a}{3\pi}\Bigr) =\frac{4a}{3\pi}.
Substituindo em \alpha,
\alpha=\frac{\sqrt{2}}{a}\,\frac{4a}{3\pi} =\frac{4\sqrt{2}}{3\pi}.

Passo 5

A probabilidade de permanecer no novo estado fundamental é
P=|\alpha|^{2} =\Bigl(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi}\Bigr)^{2} =\frac{32}{9\pi^{2}}.

Resposta

A probabilidade é \displaystyle \frac{32}{9\pi^{2}}\approx0,36.

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