Um poço de potencial quadrado infinito unidimensional tem uma largura
. Repentinamente, a largura do poço duplica. Qual é a probabilidade de que a partícula que estava inicialmente no estado fundamental
, permaneça no estado fundamental que corresponde ao novo poço, a saber
?
Passo 1
O enunciado trata de um poço de potencial infinito unidimensional de largura
que, de forma súbita, tem sua largura dobrada para
. Inicialmente a partícula está no estado fundamental
do poço original e, após a expansão rápida (quench), queremos calcular a probabilidade de encontrá-la no novo estado fundamental
. Para resolver isso usaremos projeção de estados (produto interno) e uma identidade trigonométrica para avaliar a integral de sobreposição.
Passo 2
Escrevemos as funções de onda:
Para (e zero fora desse intervalo)
Para
e para
(e zero fora)
Passo 3
A amplitude de probabilidade de ficar no novo fundamental é
Passo 4
Usamos a identidade
com
e
. Então
Substituindo em
,
Passo 5
A probabilidade de permanecer no novo estado fundamental é
Resposta
A probabilidade é
.