Calcular os valores esperados \langle x\rangle \in\left\langle x^{2}\right\rangle, como também o desvio padrão \sigma_{x} para a partícula clássica que se encontra confinada no poço de potencial quadrado infinito de largura a. Dado: a função densidade de probabilidade clássica a ser usada aqui é um valor constante \rho_{c}=a^{-1}. Comparar com aquilo que foi achado no Problema anterior, ali o limite n \rightarrow \infty deve ser adotado.

Passo 1

O enunciado pede os valores esperados clássicos \langle x\rangle, \langle x^{2}\rangle e o desvio padrão \sigma_{x} para uma partícula confinada num poço infinito de largura a, sabendo que a densidade de probabilidade é uniforme \rho_{c}=a^{-1}. Em seguida, devemos comparar com os resultados quânticos do problema anterior no limite n \to \infty.

Passo 2

Calcular
\langle x\rangle =\int_{0}^{a}x\,\rho_{c}\,dx =a^{-1}\int_{0}^{a}x\,dx =a^{-1}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{a} =\frac{a}{2}\,.

Passo 3

Calcular
\langle x^{2}\rangle =\int_{0}^{a}x^{2}\,\rho_{c}\,dx =a^{-1}\int_{0}^{a}x^{2}\,dx =a^{-1}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{2}}{3}\,.

Passo 4

A variância é
\mathrm{Var}(x) =\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2} =\frac{a^{2}}{3}-\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2} =\frac{a^{2}}{12}
e o desvio padrão
\sigma_{x} =\sqrt{\mathrm{Var}(x)} =\frac{a}{2\sqrt{3}}\,.

Passo 5

No problema quântico anterior obteve-se
\langle x\rangle_{n}=\frac{a}{2}, \quad \langle x^{2}\rangle_{n} =a^{2}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}\Bigr), \quad \sigma_{x,n} =a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}}\,.
Tomando o limite n\to\infty, esses resultados tendem exatamente aos clássicos acima.

Resposta

\displaystyle \langle x\rangle=\frac{a}{2} \displaystyle \langle x^{2}\rangle=\frac{a^{2}}{3} \displaystyle \sigma_{x}=\frac{a}{2\sqrt{3}}

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