Uma partícula no poço quadrado infinito de largura a tem uma função de onda inicial que é \Psi(x, 0)=N \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right)^{3} para 0 \leq x \leq a e é 0 para qualquer outro valor de x. Calcular N, assim como os valores esperados \langle x\rangle e \langle T\rangle para t=0.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito de largura a e diz que, em t=0, a função de onda vale
\Psi(x,0)=N\sin^3\!\biggl(\frac{\pi x}{a}\biggr)
para 0\le x\le a (zero fora). Precisamos de (i) normalizar \Psi para achar N, (ii) calcular \langle x\rangle e (iii) \langle T\rangle, onde T=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}.

Passo 2

Para normalizar, é conveniente usar a identidade trigonométrica
\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}{4}.
Definindo \theta=\frac{\pi x}{a}, temos
\Psi(x,0)=N\frac{3\sin(\pi x/a)-\sin(3\pi x/a)}{4} =\;c_1\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr) \;+\;c_3\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\bigl(\tfrac{3\pi x}{a}\bigr),
onde
c_1=\frac{3N}{4}\sqrt{\frac{a}{2}},\qquad c_3=-\frac{N}{4}\sqrt{\frac{a}{2}}.
A normalização exige \lvert c_1\rvert^2+\lvert c_3\rvert^2=1, i.e.
\frac{9N^2}{16}+\frac{N^2}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad N^2=\frac{16}{10}=\frac{8}{5} \quad\Longrightarrow\quad N=2\sqrt{\frac{2}{5}}.

Passo 3

Para \langle x\rangle note que \lvert\Psi(x,0)\rvert^2 é simétrica em torno de x=\tfrac{a}{2}. Logo
\langle x\rangle=\int_0^a x\,\lvert\Psi(x,0)\rvert^2\,dx =\frac{a}{2}.

Passo 4

Usando a expansão em estados próprios de energia E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} com coeficientes c_1 e c_3, obtemos
\langle T\rangle =\sum_n|c_n|^2E_n =|c_1|^2E_1+|c_3|^2E_3 =\frac{9}{10}E_1+\frac{1}{10}E_3 =\frac{9}{10}\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} +\frac{1}{10}\frac{9\pi^2\hbar^2}{2ma^2} =\frac{9\pi^2\hbar^2}{10\,m\,a^2}.

Resposta

N = 2\sqrt{\frac{2}{5}} \langle x \rangle = \frac{a}{2} \langle T \rangle = \frac{9\pi^2\hbar^2}{10\,m\,a^2}

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