Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Psi(x, 0)=A[psi1(x)+psi2(x)]
Calcule psi(x, t) e |psi(x, t)|^2. Represente o último na forma de função senoidal do tempo. Para simplificar o resultado, seja omega=pi^2 hbar / 2 m a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma partícula num poço quadrado infinito e a função de onda inicial é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre estados estacionários e superposição de ondas. Nosso objetivo é encontrar a função de onda no tempo psi(x, t) e a densidade de probabilidade $ |\psi(x, t)|^{2} $, expressa como uma função senoidal do tempo.

Passo 2

Primeiro, lembrando que em um poço quadrado infinito, os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger que não mudam de forma no tempo, exceto por um fator de fase. Cada estado estacionário psin(x) evolui no tempo da seguinte maneira:
psin(x, t) = psin(x) e^-i En t / hbar
Aqui, En é a energia do estado n e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, como a função de onda inicial é uma superposição equilibrada dos dois primeiros estados, podemos escrever:
Psi(x, 0) = A [ psi1(x) + psi2(x) ]
Para encontrar psi(x, t), aplicamos a evolução temporal a cada estado:
psi(x, t) = A [ psi1(x) e^-i E1 t / hbar + psi2(x) e^-i E2 t / hbar ]

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade $ |\psi(x, t)|^{2} $. Isso significa multiplicar a função de onda pelo seu conjugado:
|psi(x, t)|^2
Fazendo essa multiplicação, teremos termos quadráticos e termos de interferência (ou seja, produtos cruzados):
|psi(x, t)|^2 = psi(x, t) psi^*(x, t)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão usando que psin(x) são reais (o que geralmente é o caso para estados estacionários em poços quadrados). Assim, os termos de interferência ficam com funções cosseno:
|psi(x, t)|^2 = |A|^2 [ psi1(x)^2 + psi2(x)^2 + 2 psi1(x) psi2(x) cos( E2 - E1hbar t ) ]
Dados do problema nos dizem para simplificar usando omega = pi^2 hbar2 m a^2. Sabemos que as energias dos estados no poço são:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2 = n^2 omega hbar
Então, a diferença de energia E2 - E1 é:
E2 - E1 = 4omega hbar - omega hbar = 3omega hbar
Substituindo isso na expressão do cosseno:
cos( E2 - E1hbar t ) = cos(3omega t)

Resposta

A função de onda no tempo é:
psi(x, t) = A [ psi1(x) e^-i omega t + psi2(x) e^-i 4 omega t ]
E a densidade de probabilidade, expressa como uma função senoidal do tempo, é:
|psi(x, t)|^2 = |A|^2 [ psi1(x)^2 + psi2(x)^2 + 2 psi1(x) psi2(x) cos(3 omega t) ]

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