Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Calcule
e
. Represente o último na forma de função senoidal do tempo. Para simplificar o resultado, seja
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma partícula num poço quadrado infinito e a função de onda inicial é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre estados estacionários e superposição de ondas. Nosso objetivo é encontrar a função de onda no tempo
e a densidade de probabilidade $ |\psi(x, t)|^{2} $, expressa como uma função senoidal do tempo.
Passo 2
Primeiro, lembrando que em um poço quadrado infinito, os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger que não mudam de forma no tempo, exceto por um fator de fase. Cada estado estacionário
evolui no tempo da seguinte maneira:
Aqui,
é a energia do estado
e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, como a função de onda inicial é uma superposição equilibrada dos dois primeiros estados, podemos escrever:
Para encontrar
, aplicamos a evolução temporal a cada estado:
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade $ |\psi(x, t)|^{2} $. Isso significa multiplicar a função de onda pelo seu conjugado:
Fazendo essa multiplicação, teremos termos quadráticos e termos de interferência (ou seja, produtos cruzados):
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão usando que
são reais (o que geralmente é o caso para estados estacionários em poços quadrados). Assim, os termos de interferência ficam com funções cosseno:
Dados do problema nos dizem para simplificar usando
. Sabemos que as energias dos estados no poço são:
Então, a diferença de energia
é:
Substituindo isso na expressão do cosseno:
Resposta
A função de onda no tempo é:
E a densidade de probabilidade, expressa como uma função senoidal do tempo, é: