Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
Discuta os casos limites (
muito grande e
muito pequeno).
Discuta os casos limites (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula livre com uma função de onda inicial dada por
, onde
e
são constantes positivas. Isso está na área de mecânica quântica, especificamente lidando com funções de onda. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa função de onda quando o parâmetro
é muito grande ou muito pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de onda
. Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
no instante inicial
. O termo
indica como a probabilidade decai com a distância do ponto
. O parâmetro
controla a “largura” dessa distribuição. Vamos ver como diferentes valores de
afetam essa distribuição.
Passo 3
Caso 1:
muito grande
Quando
é muito grande, o termo
decai muito rapidamente conforme
se afasta de zero. Isso significa que a função de onda é muito concentrada em torno de
. Matemáticamente, à medida que
, a função de onda se aproxima de uma função delta de Dirac,
, que está totalmente localizada em
. Fisicamente, isso indica que a partícula está muito bem localizada no ponto
, com baixa incerteza na posição.
Passo 4
Caso 2:
muito pequeno
Quando
é muito pequeno, o termo
decai lentamente com
. Isso faz com que a função de onda seja espalhada ao longo do espaço. À medida que
, a distribuição se torna mais uniforme, indicando que a partícula tem uma alta incerteza na posição, podendo estar praticamente em qualquer lugar. Nesse caso, a função de onda se torna mais extensa, implicando que a partícula está menos localizada.
Resposta
Quando o parâmetro
é muito grande, a função de onda
fica altamente concentrada em
, indicando que a partícula está bem localizada nesse ponto com baixa incerteza na posição. Por outro lado, quando
é muito pequeno, a função de onda se espalha amplamente, sugerindo que a partícula tem alta incerteza na posição e está menos localizada no espaço.