Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
Psi(x, 0)=A e^-a|x|
em que A e a são constantes reais positivas.
Discuta os casos limites ( a muito grande e a muito pequeno).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula livre com uma função de onda inicial dada por Psi(x, 0) = A e^-a|x|, onde A e a são constantes positivas. Isso está na área de mecânica quântica, especificamente lidando com funções de onda. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa função de onda quando o parâmetro a é muito grande ou muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de onda Psi(x, 0) = A e^-a|x|. Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x no instante inicial t = 0. O termo e^-a|x| indica como a probabilidade decai com a distância do ponto x = 0. O parâmetro a controla a “largura” dessa distribuição. Vamos ver como diferentes valores de a afetam essa distribuição.

Passo 3

Caso 1: a muito grande
Quando a é muito grande, o termo e^-a|x| decai muito rapidamente conforme x se afasta de zero. Isso significa que a função de onda é muito concentrada em torno de x = 0. Matemáticamente, à medida que a to infty, a função de onda se aproxima de uma função delta de Dirac, de, que está totalmente localizada em x = 0. Fisicamente, isso indica que a partícula está muito bem localizada no ponto x = 0, com baixa incerteza na posição.

Passo 4

Caso 2: a muito pequeno
Quando a é muito pequeno, o termo e^-a|x| decai lentamente com x. Isso faz com que a função de onda seja espalhada ao longo do espaço. À medida que a to 0, a distribuição se torna mais uniforme, indicando que a partícula tem uma alta incerteza na posição, podendo estar praticamente em qualquer lugar. Nesse caso, a função de onda se torna mais extensa, implicando que a partícula está menos localizada.

Resposta

Quando o parâmetro a é muito grande, a função de onda Psi(x, 0) = A e^-a|x| fica altamente concentrada em x = 0, indicando que a partícula está bem localizada nesse ponto com baixa incerteza na posição. Por outro lado, quando a é muito pequeno, a função de onda se espalha amplamente, sugerindo que a partícula tem alta incerteza na posição e está menos localizada no espaço.

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