Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Qual a probabilidade de que a medição de energia produza o valor ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa num poço quadrado infinito, e foi dada a função de onda inicial dela:
O objetivo é descobrir qual a probabilidade de que, ao medir a energia dessa partícula, a gente obtenha o valor , que é a primeira energia permitida nesse poço. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de onda em poços de potencial, estados estacionários (funções trigonométricas que resolvem a equação de Schrödinger para o poço) e o conceito de coeficientes de expansão da função de onda inicial nesses estados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no poço quadrado infinito, os estados de energia são determinados por funções de onda estacionárias, que são soluções da equação de Schrödinger. Essas funções de onda têm a forma:
onde é um número inteiro positivo (), e cada corresponde a uma energia dada por:
Nossa função de onda inicial pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções . O coeficiente dessa combinação que nos interessa para é dado pelo produto interno:
Passo 3
Vamos calcular . Primeiro, vamos substituir e na integral:
Agora, como é uma função definida em duas partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, encontre a constante de normalização . Para a função de onda ser normalizada, deve-se ter:
Substituindo :
Calculando as integrais:
Então:
Passo 5
Agora, voltando à expressão de , vamos substituir :