Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Psi(x, 0)= A x, & 0 <= x <= a / 2 A(a-x), & a / 2 <= x <= a
Qual a probabilidade de que a medição de energia produza o valor E1?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa num poço quadrado infinito, e foi dada a função de onda inicial dela:
Psi(x, 0)= A x, & 0 <= x <= a2 A(a-x), & a2 <= x <= a
O objetivo é descobrir qual a probabilidade de que, ao medir a energia dessa partícula, a gente obtenha o valor E1, que é a primeira energia permitida nesse poço. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de onda em poços de potencial, estados estacionários (funções trigonométricas que resolvem a equação de Schrödinger para o poço) e o conceito de coeficientes de expansão da função de onda inicial nesses estados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no poço quadrado infinito, os estados de energia são determinados por funções de onda estacionárias, que são soluções da equação de Schrödinger. Essas funções de onda têm a forma:
phin(x) = raiz2a sin(npi xa)
onde n é um número inteiro positivo ( n = 1, 2, 3, dots), e cada phin(x) corresponde a uma energia En dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22ma^2
Nossa função de onda inicial Psi(x, 0) pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções phin(x). O coeficiente dessa combinação que nos interessa para E1 é dado pelo produto interno:
c1 = integral0^a Psi(x, 0) phi1(x) dx

Passo 3

Vamos calcular c1. Primeiro, vamos substituir Psi(x, 0) e phi1(x) na integral:
c1 = integral0^a Psi(x, 0) phi1(x) dx = integral0^a Psi(x, 0) raiz2a sin(pi xa) dx
Agora, como Psi(x, 0) é uma função definida em duas partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:
c1 = raiz2a [ integral0^a2 A x sin(pi xa) dx + integrala2^a A (a - x) sin(pi xa) dx ]

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, encontre a constante de normalização A. Para a função de onda ser normalizada, deve-se ter:
integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Substituindo Psi(x, 0):
A^2 [ integral0^a2 x^2 dx + integrala2^a (a - x)^2 dx ] = 1
Calculando as integrais:
integral0^a2 x^2 dx = 13 (a2)^3 = a^324
integrala2^a (a - x)^2 dx = integral0^a2 y^2 dy = 13 (a2)^3 = a^324
Então:
A^2 ( a^324 + a^324 ) = A^2 ( a^312 ) = 1 Rightarrow A = raiz12a^3

Passo 5

Agora, voltando à expressão de c1, vamos substituir A:
c1 = raiz2a cdot raiz12a^3 [ integral0^a2 x sin(pi xa) dx + integrala2^a (a - x) sin(pi xa) dx ]
Simplificando as constantes:
c1 = raiz24a^4 [ integral0^a2 x sin(pi xa) dx + integrala2^a (a - x) sin(pi xa) dx ]
c1 = raiz24a^2 [ I + II ]
onde:
I = integral0^a2 x sin(pi xa) dx
II = integrala2^a (a - x) sin(pi xa) dx

Passo 6

Vamos resolver a integral I:
I = integral0^a2 x sin(pi xa) dx
Usando integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(pi xa) dx Rightarrow v = -api cos(pi xa)
Então:
I = -api x cos(pi xa) |0^a2 + api integral0^a2 cos(pi xa) dx
Calculando os limites:
-api ( a2 cos(pi2) - 0 cdot cos(0) ) = -api ( a2 cdot 0 - 0 cdot 1 ) = 0
E a segunda parte:
api cdot api sin(pi xa) |0^a2 = a^2pi^2 ( sin(pi2) - sin(0) ) = a^2pi^2 (1 - 0) = a^2pi^2
Então:
I = a^2pi^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral II:
II = integrala2^a (a - x) sin(pi xa) dx
Fazendo uma substituição y = a - x, então quando x = a2, y = a2, e quando x = a, y = 0. A integral fica:
II = integral0^a2 y sin(pi (a - y)a) (-dy) = integral0^a2 y sin(pi - pi ya) dy
Como sin(pi - theta) = sin theta, temos:
II = integral0^a2 y sin(pi ya) dy
Isso é igual à integral I. Então:
II = a^2pi^2

Passo 8

Agora, voltando à expressão de c1:
c1 = raiz24a^2 ( a^2pi^2 + a^2pi^2 ) = raiz24a^2 cdot 2a^2pi^2 = 2 raiz24pi^2
Simplificando raiz24:
raiz24 = 2raiz6
Então:
c1 = 2 cdot 2raiz6pi^2 = 4raiz6pi^2

Passo 9

A probabilidade de medir a energia E1 é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente c1:
P(E1) = |c1|^2 = ( 4raiz6pi^2 )^2 = 16 cdot 6pi^4 = 96pi^4

Resposta

A probabilidade de que a medição de energia produza o valor E1 é 96pi^4, aproximadamente 0,311.

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