1. Uma partícula presa por um fio de comprimento 50 cm , está a girar no plano vertical. O valor da força de tensão no fio é igual a 3 N , quando a partícula passa no ponto mais baixo da sua trajectória com velocidade mínima. Qual a massa da partícula? R: \mathbf{5 1 g = 0 , 0 5 1 ~ k g}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula presa num fio de comprimento 50\\ \text{cm} (ou seja, raio r=0{,}5\\ \text{m}) que gira num plano vertical. No ponto mais baixo, a tensão no fio vale T=3\\ \text{N} quando a velocidade é a mínima que mantém o fio esticado durante toda a volta. Precisamos usar movimento circular (força centrípeta) e conservação de energia para achar a massa m.

Passo 2

Para o fio não ficar frouxo no ponto mais alto, a tensão lá deve ser ao menos zero. Na condição limite “tensão nula” temos
T_{\text{top}}=0
e a única força centrípeta é o peso, logo
\frac{m\,v_{\text{top}}^2}{r}=m\,g
daí
v_{\text{top}}^2=g\,r.

Passo 3

Aplicamos conservação de energia entre o ponto mais baixo (velocidade v_0) e o ponto mais alto (velocidade v_{\text{top}}, ganho de altura 2r):
\frac12m\,v_0^2=\frac12m\,v_{\text{top}}^2+2m\,g\,r
Logo
v_0^2=v_{\text{top}}^2+4g\,r=g\,r+4g\,r=5\,g\,r.

Passo 4

No ponto mais baixo, a tensão deve suprir a força centrípeta e o peso:
T=\frac{m\,v_0^2}{r}+m\,g.
Substituindo v_0^2=5g\,r
T=m\frac{5g\,r}{r}+m\,g=5m\,g+m\,g=6m\,g.

Passo 5

Isolando m:
m=\frac{T}{6g}=\frac{3}{6\cdot9{,}8}\approx0{,}0510\\ \text{kg}\approx51\\ \text{g}.

Resposta

A massa da partícula é aproximadamente 0{,}051\\ \text{kg} (ou 51\\ \text{g}).

Exercícios relacionados