1. Explique o que é o spin, origem e como poderia ser colocado dentro da representação ondulatória de Schrödinger.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é o spin (conteúdo de Mecânica Quântica), discutir sua origem histórica/física e mostrar como podemos incluí-lo na representação ondulatória de Schrödinger. Para isso vamos precisar falar de operadores de spin, do experimento de Stern–Gerlach, da equação de Dirac e, finalmente, da equação de Pauli (spinores + matrizes de Pauli).

Passo 2

Definimos o spin como um momento angular intrínseco que toda partícula quântica possui, independente de rotação no espaço. Introduzimos o operador
\mathbf{S} = \bigl(S_x,\,S_y,\,S_z\bigr)
cuja natureza matricial satisfaz as relações de comutação
[S_i,S_j] = i\hbar\,\varepsilon_{ijk}S_k.
Para partículas de spin- \tfrac12 (como o elétron), os autovalores de \mathbf{S}^2 valem \hbar^2 s(s+1) com s=\tfrac12, e cada S_z tem autovalores \pm\tfrac{\hbar}{2}.

Passo 3

Historicamente, o spin surgiu para explicar o efeito Zeeman anômalo e, em 1922, o experimento de Stern–Gerlach mostrou quantização em dois níveis. Pauli introduziu a “matriz de spin” a princípio de forma ad hoc, e em 1928 Dirac, ao derivar sua equação relativística, demonstrou que o spin é consequência natural da invariância relativística e da existência de componentes de onda com duas componentes de spin.

Passo 4

Para incluir spin na equação de Schrödinger, promovemos a função de onda escalar \psi(\mathbf r,t) a um spinor de duas componentes
\Psi(\mathbf r,t) = \begin{pmatrix}\psi_+(\mathbf r,t) \\[6pt]\psi_-(\mathbf r,t)\end{pmatrix},
onde cada componente corresponde aos estados \!\!S_z=+\tfrac{\hbar}{2} ou -\tfrac{\hbar}{2}.]

Passo 5

O hamiltoniano não‐relativístico que leva em conta o acoplamento de spin a um campo magnético \mathbf B é dado pela equação de Pauli:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,\Psi = \biggl[\frac{1}{2m}(\mathbf p - q\mathbf A)^2 + q\varphi - \frac{q\hbar}{2m}\,\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B\biggr]\Psi.
Aqui \boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) são as matrizes de Pauli que representam 2S_i/\hbar. A última parcela -\tfrac{q\hbar}{2m}\,\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B é o termo de energia de interação de spin e campo magnético.

Passo 6

Concluímos que, na representação ondulatória de Schrödinger, o spin entra elevando a função de onda a um spinor e inserindo os operadores \boldsymbol{\sigma} no hamiltoniano (equação de Pauli), de modo a tratar corretamente a dinâmica e o acoplamento de spin.

Resposta

O spin é um momento angular intrínseco quantizado (autovalores \pm\hbar/2 para spin- \tfrac12), descoberto por Stern–Gerlach e entendido formalmente na equação de Dirac. Para incluí-lo na mecânica ondulatória de Schrödinger, usamos uma função de onda em duas componentes (spinor) e introduzimos no hamiltoniano os operadores de spin via matrizes de Pauli, resultando na equação de Pauli.

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