Uma partícula realiza MHS, de período 12s e amplitude 20cm. Determine a aceleração, 2s após ela ter passado pela posição -10 cm com velocidade negativa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma partícula que está fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com período de 12 segundos e amplitude de 20 centímetros. Precisamos descobrir qual é a aceleração da partícula 2 segundos depois que ela passou pela posição de -10 cm com velocidade negativa. Para isso, vamos usar as fórmulas do MHS e entender como a posição, velocidade e aceleração se relacionam nesse tipo de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no MHS a posição da partícula em função do tempo é dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (20 cm),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Nosso primeiro passo é encontrar $ \omega $. Sabemos que o período $ T $ é 12 segundos, e a relação entre $ \omega $ e $ T $ é:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a fase inicial $ \phi $. Sabemos que a partícula passou pela posição $ x = -10 $ cm com velocidade negativa. Vamos usar a condição de posição para achar $ \phi $:
Podemos simplificar:
O cosseno de que ângulo dá -0.5? Sabemos que $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -0.5 $, então:
Como ainda não sabemos o tempo $ t $ correspondente a essa posição, vamos passar para o próximo passo.
Passo 4
Vamos usar a informação de que a velocidade é negativa quando passa por $ x = -10 $ cm. A velocidade no MHS é dada pela derivada da posição:
Como $ v(t) $ é negativa, isso significa que $ \sin(\omega t + \phi) $ é positiva, pois $ -A \omega $ é negativo. Sabemos que $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ é positivo, então:
Isso confirma que:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a aceleração 2 segundos depois que a partícula passou por $ x = -10 $ cm. A aceleração no MHS é dada por:
Vamos calcular a posição $ x $ e a fase $ \omega t + \phi $ 2 segundos depois.
Como no instante inicial $ t = 0 $:
Depois de 2 segundos:
Então,
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
Resposta
A aceleração da partícula 2 segundos depois que ela passou pela posição -10 cm com velocidade negativa é: