Uma partícula realiza MHS, de período 12s e amplitude 20cm. Determine a aceleração, 2s após ela ter passado pela posição -10 cm com velocidade negativa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma partícula que está fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com período de 12 segundos e amplitude de 20 centímetros. Precisamos descobrir qual é a aceleração da partícula 2 segundos depois que ela passou pela posição de -10 cm com velocidade negativa. Para isso, vamos usar as fórmulas do MHS e entender como a posição, velocidade e aceleração se relacionam nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no MHS a posição da partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude (20 cm),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
Nosso primeiro passo é encontrar $ \omega $. Sabemos que o período $ T $ é 12 segundos, e a relação entre $ \omega $ e $ T $ é:
A
Então,
omega

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a fase inicial $ \phi $. Sabemos que a partícula passou pela posição $ x = -10 $ cm com velocidade negativa. Vamos usar a condição de posição para achar $ \phi $:
phi
Podemos simplificar:
x = -10
O cosseno de que ângulo dá -0.5? Sabemos que $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -0.5 $, então:
phi
Como ainda não sabemos o tempo $ t $ correspondente a essa posição, vamos passar para o próximo passo.

Passo 4

Vamos usar a informação de que a velocidade é negativa quando passa por $ x = -10 $ cm. A velocidade no MHS é dada pela derivada da posição:
x = -10
Como $ v(t) $ é negativa, isso significa que $ \sin(\omega t + \phi) $ é positiva, pois $ -A \omega $ é negativo. Sabemos que $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ é positivo, então:
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
Isso confirma que:
v(t)

Passo 5

Agora, queremos encontrar a aceleração 2 segundos depois que a partícula passou por $ x = -10 $ cm. A aceleração no MHS é dada por:
x = -10
Vamos calcular a posição $ x $ e a fase $ \omega t + \phi $ 2 segundos depois.
Como no instante inicial $ t = 0 $:
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
Depois de 2 segundos:
x
Então,
omega t + phi
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
t = 0

Resposta

A aceleração da partícula 2 segundos depois que ela passou pela posição -10 cm com velocidade negativa é:
a = 5pi^29 , cm/s^2

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