Mostre que a multiplicação do vetor z=A e^{i \omega t} por i rotaciona z por 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o número complexo na forma exponencial \;z = A\,e^{i\omega t}, a multiplicação por i corresponde a uma rotação de 90^\circ (ou \pi/2 radianos) no plano complexo. Para isso vamos usar a fórmula de Euler
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)
e a propriedade de que multiplicar fases em forma exponencial soma os argumentos.

Passo 2

Escrevemos o fator i em forma exponencial usando Euler, avaliando em \theta = \pi/2:
e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0 + i\cdot1 = i.

Passo 3

Agora multiplicamos z por i, substituindo i = e^{i\pi/2}:
i\,z = \bigl(e^{i\frac{\pi}{2}}\bigr)\,\bigl(A\,e^{i\omega t}\bigr) = A\,e^{\,i\bigl(\omega t + \frac{\pi}{2}\bigr)}.
Ou seja, a fase original \omega t passa a ser \omega t + \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Geometricamente, adicionar \tfrac{\pi}{2} ao argumento de um número complexo corresponde a uma rotação de \tfrac{\pi}{2} radianos, isto é, de 90^\circ, no sentido anti-horário no plano complexo.

Resposta

Multiplicar z=A\,e^{i\omega t} por i desloca seu argumento de \omega t para \omega t+\tfrac{\pi}{2}, ou seja, faz uma rotação de 90^\circ.

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