1. Uma partícula sai da posição x0=2,0 m, no instante t=0, descrevendo um movimento em linha reta. A velocidade da desenvolvida pela partícula durante o movimento pode ser descrita pela equação v=3-6 t.
    a. Encontre o instante em que a partícula passa pela origem.
    b. Existe algum ponto de retorno no movimento da partícula? Em caso positivo, em que posição ou posições.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que começa na posição inicial x0 = 2,0 metros no instante t = 0 e se move em linha reta com uma velocidade que varia no tempo, dada por v(t) = 3 - 6t .
Conteúdo da matéria: Movimento retilíneo com velocidade variável.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender a relação entre velocidade e posição.
  • Integrar a função de velocidade para encontrar a posição em função do tempo.
  • Resolver equações para encontrar os instantes e posições específicas solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = 3 - 6t
Para encontrar x(t) , precisamos integrar a função de velocidade:
x(t) = integral v(t) , dt = integral (3 - 6t) , dt = 3t - 3t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Determinar a constante de integração C usando a condição inicial. Sabemos que no instante t = 0 , a posição é x0 = 2,0 m:
x(0) = 3(0) - 3(0)^2 + C = 2,0 implies C = 2,0
Então, a função posição fica:
x(t) = 3t - 3t^2 + 2,0

Passo 4

Parte a: Encontrar o instante em que a partícula passa pela origem.
Queremos saber quando x(t) = 0 :
0 = 3t - 3t^2 + 2
Rearranjando a equação:
3t^2 - 3t - 2 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma at^2 + bt + c = 0 . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 3 , b = -3 e c = -2 :
t = 3 pm raiz9 + 246 = 3 pm raiz336
A raiz positiva é a que faz sentido fisicamente:
t = 3 + raiz336 approx 3 + 5,74466 approx 1,457 , segundos

Passo 5

Parte b: Verificar se existe algum ponto de retorno no movimento da partícula.
Um ponto de retorno ocorre quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando v(t) = 0 .
Vamos resolver v(t) = 0 :
3 - 6t = 0 implies t = 36 = 0,5 , segundos
Agora, vamos encontrar a posição nessa altura de tempo:
x(0,5) = 3(0,5) - 3(0,5)^2 + 2 = 1,5 - 0,75 + 2 = 2,75 , metros

Resposta

a. A partícula passa pela origem no instante aproximadamente t = 1,457 segundos.
b. Sim, existe um ponto de retorno no movimento da partícula na posição x = 2,75 metros.

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