1. Uma partícula possui um vetor posição dado por r=(30 t) i+(40 t-5,0 t^2) j, com todas unidades no S.I.
Determine, em notação de vetores unitários, no instante t=3,0 s, a velocidade instantânea da partícula, e seu ângulo em relação ao eixo x .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cujo vetor posição é dado por r = (30 t) i + (40 t - 5,0 t^2) j. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante de t = 3,0 segundos e também determinar o ângulo que essa velocidade forma com o eixo x. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de cinemática vetorial, especificamente derivando o vetor posição para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos r(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dr(t)dt
Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos derivar cada componente do vetor posição:
Para a componente i:
ddt(30 t) = 30
Para a componente j:
ddt(40 t - 5,0 t^2) = 40 - 10 t
Então, a velocidade em função do tempo fica:
v(t) = 30 i + (40 - 10 t) j

Passo 4

Agora, vamos substituir t = 3,0 s na expressão da velocidade para encontrar a velocidade instantânea nesse instante:
v(3,0) = 30 i + (40 - 10 times 3) j = 30 i + 10 j
Portanto, a velocidade instantânea é v = 30 i + 10 j m/s.

Passo 5

Para encontrar o ângulo que a velocidade faz com o eixo x, usamos a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente y e a componente x da velocidade:
tan(theta) = vjvi = 1030 = 13
Agora, aplicamos a função arco-tangente para encontrar o ângulo:
theta = arctan(13) approx 18,43^circ

Resposta

A velocidade instantânea da partícula no instante t = 3,0 s é v = 30 i + 10 j m/s, formando um ângulo de aproximadamente 18,43^circ em relação ao eixo x.

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