- Uma partícula possui um vetor posição dado por
, com todas unidades no S.I.
Determine, em notação de vetores unitários, no instante
, a velocidade instantânea da partícula, e seu ângulo em relação ao eixo x .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cujo vetor posição é dado por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante de
segundos e também determinar o ângulo que essa velocidade forma com o eixo x. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de cinemática vetorial, especificamente derivando o vetor posição para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos
, a velocidade
é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor posição em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos derivar cada componente do vetor posição:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade em função do tempo fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir
s na expressão da velocidade para encontrar a velocidade instantânea nesse instante:
Portanto, a velocidade instantânea é
m/s.
Passo 5
Para encontrar o ângulo que a velocidade faz com o eixo x, usamos a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente y e a componente x da velocidade:
Agora, aplicamos a função arco-tangente para encontrar o ângulo:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula no instante
s é
m/s, formando um ângulo de aproximadamente
em relação ao eixo x.