Uma partícula de sedimento está sendo transportada por uma corrente marinha ao longo do fundo do oceano. A força da corrente em um ponto x (em metros) é dada por:
F(x)=3 x raizx^2+1 (em Newtons )
A partícula se desloca de x1=0 metros até x2=2 metros.
Calcule o trabalho realizado pela corrente sobre a partícula ao longo desse deslocamento.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento de 0 a 2 m. O conteúdo é cálculo de trabalho via integração de uma força unidimensional não constante, e precisaremos configurar e avaliar a integral de linha W = ∫ F(x) dx.

Passo 2

O trabalho é dado por W = integral0^2 F(x) ,dx. Como F(x)=3xraizx^2+1, temos:
W=integral0^23xraizx^2+1,dx

Passo 3

Para resolver a integral, usamos a substituição u=x^2+1, logo du=2x,dx ou x,dx=du/2. Quando x=0, u=1; quando x=2, u=5. Substituindo em W:
W=integralu=1^u=53raizudu2=32integral1^5u^1/2,du
Calculando a integral:
32cdotu^3/23/2|1^5=u^3/2|1^5=5^3/2-1^3/2

Passo 4

Reconhecendo que 5^3/2=5raiz5, concluímos que o trabalho é 5raiz5-1 joules, que numericamente vale aproximadamente 10,18 J.

Resposta

5raiz5-1 J (aprox. 10,18 J)

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