Uma partícula está sujeita a uma força variável dada por:
F(x)=cos (pi x3) N
onde x é a posição da partícula em metros.
Interprete os resultados obtidos, analisando o comportamento da força ao longo do deslocamento.

Passo 1

O enunciado nos dá uma força que depende da posição: F(x)=cosl(tfracpi x3r) N. O objetivo é entender como essa força varia quando a partícula se move ao longo de x. Vamos usar conceitos de trigonometria (zeros, máximos, mínimos e sinal da função cosseno) para analisar esse comportamento.

Passo 2

Para encontrar onde a força muda de sinal, achamos os zeros de F(x). Isso ocorre quando
cosl(tfracpi x3r)=0
Ou seja,
pi x3=pi2+kpi,, kinZ
Dessa equação vem
x=32+3k,, kinZ
Entre esses pontos a força muda de sinal. Para saber em quais intervalos ela é positiva ou negativa, basta testar um x qualquer em cada trecho:
  • Para xin(0,1,5), o argumento do cosseno está entre 0 e pi/2, logo F(x)>0.
  • Para xin(1,5,4,5), o argumento está entre pi/2 e 3pi/2, então F(x)<0.
    E assim por diante, alternando a cada comprimento de 3 m.

Passo 3

Agora identificamos máximos e mínimos locais. Derivando:
F'(x)=-pi3,sinl(tfracpi x3r)
Zeramos F'(x) quando sin(pi x/3)=0, ou seja,
pi x3=kpi Rightarrow x=3k,
Em x=3k a força vale
F(3k)=cos(kpi)=(-1)^k
Então há máximos +1 N em x=0,6,12,dots e mínimos -1 N em x=3,9,15,dots.

Passo 4

Gráfico mental e periodicidade: F(x)=cos(pi x/3) tem período
T=2pi(pi/3)=6 m
Isso significa que a cada 6 metros o padrão de variação da força se repete exatamente.

Passo 5

Física da interpretação: nos intervalos em que F(x)>0, a força empurra a partícula no sentido crescente de x. Quando F(x)<0, ela age no sentido contrário (puxa a partícula de volta). Nos pontos onde F(x)=0 não há força instantânea sobre a partícula.

Passo 6

Em resumo, a força é oscilatória e periódica em x, variando suavemente entre +1 N e -1 N, com zeros em x=1,5+3k, máximos em x=6k e mínimos em x=3+6k.

Resposta

A força varia de forma periódica com período de 6 m, oscilando entre +1 N e –1 N. Ela é positiva (empurra para +x) em cada intervalo de comprimento 3 m a partir de x=0 até x=1,5 + 3k, torna-se negativa (puxa para –x) de 1,5 + 3k até 4,5 + 3k, e se zera em x=1,5 + 3k. Há máximos F=+1 N em x=6k e mínimos F=–1 N em x=3+6k.

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