Sejam f(x)=5 raizx e g(x)=4+cos x.
Encontre (g circ f)(x) e (g circ f)^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas funções: $ f(x) = 5 \sqrt{x} $ e $ g(x) = 4 + \cos x $. A missão aqui é encontrar a composição dessas funções, ou seja, $ (g \circ f)(x) $, e também a derivada dessa composição, $ (g \circ f)’(x) $. Para isso, vamos usar os conceitos de composição de funções e de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a composição $ (g \circ f)(x) $. Compor funções significa substituir a saída de uma função na outra. Então, aqui vamos substituir $ f(x) $ dentro de $ g(x) $.
Sabemos que:
(g circ f)(x)
e
f(x)
Então, substituindo $ f(x) $ em $ g(x) $:
g(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da composição $ (g \circ f)’(x) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta $ g(f(x)) $ é $ g’(f(x)) \cdot f’(x) $.
Primeiro, vamos encontrar $ g’(x) $ e $ f’(x) $:
Derivada de $ g(x) $:
(g circ f)'(x)
Derivada de $ f(x) $:
g(f(x))
Agora, aplicando a regra da cadeia:
g'(f(x)) cdot f'(x)

Resposta

(g circ f)(x) = 4 + cos(5 raizx)
(g circ f)'(x) = -5, sin(5 raizx)2, raizx

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