Um veleiro está se movendo ao longo de um trajeto retilíneo, impulsionado pelo vento. A força exercida pelo vento sobre a vela varia com a posição do veleiro e é modelada por:
onde
é a posição do veleiro em metros ao longo de sua trajetória.
O veleiro parte da posição
metros e se desloca até
metros.
Calcule o trabalho realizado pelo vento sobre o veleiro ao longo desse deslocamento.
O veleiro parte da posição
Calcule o trabalho realizado pelo vento sobre o veleiro ao longo desse deslocamento.
Passo 1
Temos um veleiro que parte de x₁ = 0 m até x₂ = 10 m e a força do vento varia com a posição segundo F(x) = 10 e^{−0.2 x} (N). O conteúdo aqui é o cálculo de trabalho de uma força variável, e vamos precisar usar a definição de trabalho como integral de F(x) em relação a x.
Passo 2
O trabalho W realizado por uma força variável F(x) ao longo de um deslocamento de x₁ até x₂ é dado por
Passo 3
Substituindo F(x) = 10 e^{−0.2 x} e os limites 0 e 10, escrevemos
Passo 4
Para resolver essa integral, lembramos que
. Aqui a = −0.2, então a antiderivada de e^{−0.2x} é
.
Calculamos:
Calculamos:
Passo 5
Simplificando o parênteses:
Passo 6
Se quisermos uma aproximação numérica, usamos e^{-2} ≈ 0.1353, então W ≈ 50 (1 − 0.1353) ≈ 43.2 J.