Um veleiro está se movendo ao longo de um trajeto retilíneo, impulsionado pelo vento. A força exercida pelo vento sobre a vela varia com a posição do veleiro e é modelada por:
F(x)=10 e^-0.2 x (em Newtons)
onde x é a posição do veleiro em metros ao longo de sua trajetória.
O veleiro parte da posição x1=0 metros e se desloca até x2=10 metros.
Calcule o trabalho realizado pelo vento sobre o veleiro ao longo desse deslocamento.

Passo 1

Temos um veleiro que parte de x₁ = 0 m até x₂ = 10 m e a força do vento varia com a posição segundo F(x) = 10 e^{−0.2 x} (N). O conteúdo aqui é o cálculo de trabalho de uma força variável, e vamos precisar usar a definição de trabalho como integral de F(x) em relação a x.

Passo 2

O trabalho W realizado por uma força variável F(x) ao longo de um deslocamento de x₁ até x₂ é dado por
W = integralx1^x2 F(x) , dx

Passo 3

Substituindo F(x) = 10 e^{−0.2 x} e os limites 0 e 10, escrevemos
W = integral0^10 10,e^-0.2x , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, lembramos que integral e^ax dx = 1a e^ax. Aqui a = −0.2, então a antiderivada de e^{−0.2x} é -5 e^-0.2x.
Calculamos:
W = 10 [ -5 e^-0.2x ]0^10 = -50 l(e^-0.2cdot10 - e^-0.2cdot0r)

Passo 5

Simplificando o parênteses:
W = -50 l(e^-2 - 1r) = 50 l(1 - e^-2r)

Passo 6

Se quisermos uma aproximação numérica, usamos e^{-2} ≈ 0.1353, então W ≈ 50 (1 − 0.1353) ≈ 43.2 J.

Resposta

W = 50l(1 - e^-2r),J approx 43.2,J

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