Tres corpos de massas iguais à
estão presos nos vértices de um triângulo equilátero de massa desprezível e lado
. O sistema todo gira com velocidade angular
. Calcule a energia cinética de rotação para as seguintes situações:
a) O eixo de rotação passando pelo centro do triângulo e perpendicular ao plano do triângulo.
Resolução:
,
b) O eixo de rotação passando por um dos vértices e perpendicular ao plano do triângulo.
c) Qual das energias cinéticas é maior e por quantas vezes ela é maior do que a outra.
a) O eixo de rotação passando pelo centro do triângulo e perpendicular ao plano do triângulo.
b) O eixo de rotação passando por um dos vértices e perpendicular ao plano do triângulo.
c) Qual das energias cinéticas é maior e por quantas vezes ela é maior do que a outra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Três corpos, cada um de massa
, estão presos nos vértices de um triângulo equilátero de massa desprezível e lado . - O sistema gira com velocidade angular
. - Perguntas:
a) Calcular a energia cinética de rotação quando o eixo passa pelo centro do triângulo e é perpendicular ao plano do triângulo. (O enunciado já mostrou a resolução proposta, mas vamos deduzir de forma completa.)
b) Calcular a energia cinética de rotação quando o eixo passa por um dos vértices e é perpendicular ao plano do triângulo.
c) Comparar as duas energias e dizer qual é maior e por quantas vezes.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
- Energia cinética de rotação: para um corpo rígido que gira com velocidade angular
, a energia cinética rotacional é
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Aqui
é a velocidade angular (em rad/s).
- Momento de inércia para massas pontuais: se temos massas pontuais
a distâncias do eixo de rotação, o momento de inércia é
Explicação simples: cada massa descreve um movimento circular de raio
, velocidade tangencial
. A energia cinética dessa massa é
. Somando para todas dá
.
- Portanto, nosso trabalho será: achar as distâncias de cada uma das três massas ao eixo (os
), calcular e então usar .
Passo 3
Geometria necessária (distância do centro do triângulo aos vértices):
- Para um triângulo equilátero de lado
, a altura vale
- O centro (circuncentro, baricentro e incentro coincidem no equilátero). A distância do vértice até o centro é
da altura (porque o baricentro fica a da mediana desde o vértice). Logo o raio (distância do centro a cada vértice) é
Portanto cada vértice está a uma distância
do centro do triângulo.
Passo 4
Cálculo do momento de inércia e da energia para o caso (a) — eixo pelo centro, perpendicular ao plano:
- Cada uma das três massas está à mesma distância do eixo:
. - Usando
,
- Agora a energia rotacional:
Comentário amigável: então a expressão dada no enunciado estava certinha — derivamos passo a passo e mostramos de onde vem cada termo.
Passo 5
Cálculo do momento de inércia e da energia para o caso (b) — eixo passando por um vértice, perpendicular ao plano:
- Escolhemos o eixo passando por um vértice (chame-o de vértice A). A massa que está exatamente nesse vértice tem distância
ao eixo. As outras duas massas (nos vértices B e C) estão a distância igual ao lado do triângulo em relação a A, ou seja . (Explicação: a distância entre A e B é o próprio lado .) - Momento de inércia:
- Energia rotacional:
Pequena observação: aqui deu um resultado simples porque duas massas descrevem círculos de raio
e a terceira está fixada no eixo.
Passo 6
Comparação (item c): qual é maior e por quantas vezes?
- Temos
e - A razão é
Portanto
é o dobro de
. Em palavras: a rotação com eixo passando por um vértice tem energia cinética duas vezes maior do que quando o eixo passa pelo centro (para a mesma
).
Resposta
a)
b)
c) (ou seja,
é duas vezes maior que
).
b)
c)