Tres corpos de massas iguais à m estão presos nos vértices de um triângulo equilátero de massa desprezível e lado l. O sistema todo gira com velocidade angular \omega. Calcule a energia cinética de rotação para as seguintes situações:
a) O eixo de rotação passando pelo centro do triângulo e perpendicular ao plano do triângulo.
Resolução: E_{a}=\frac{1}{2} m l^{2} \omega^{2},
b) O eixo de rotação passando por um dos vértices e perpendicular ao plano do triângulo.
c) Qual das energias cinéticas é maior e por quantas vezes ela é maior do que a outra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Três corpos, cada um de massa \,m, estão presos nos vértices de um triângulo equilátero de massa desprezível e lado \,l.
  • O sistema gira com velocidade angular \,\omega.
  • Perguntas:
    a) Calcular a energia cinética de rotação quando o eixo passa pelo centro do triângulo e é perpendicular ao plano do triângulo. (O enunciado já mostrou a resolução proposta \;E_{a}=\tfrac{1}{2} m l^{2} \omega^{2}, mas vamos deduzir de forma completa.)
    b) Calcular a energia cinética de rotação quando o eixo passa por um dos vértices e é perpendicular ao plano do triângulo.
    c) Comparar as duas energias e dizer qual é maior e por quantas vezes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Energia cinética de rotação: para um corpo rígido que gira com velocidade angular \,\omega, a energia cinética rotacional é
E_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde \,I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Aqui \,\omega é a velocidade angular (em rad/s).
  • Momento de inércia para massas pontuais: se temos massas pontuais m_i a distâncias r_i do eixo de rotação, o momento de inércia é
I=\sum_i m_i r_i^{2}.
Explicação simples: cada massa descreve um movimento circular de raio r_i, velocidade tangencial v_i=\omega r_i. A energia cinética dessa massa é \tfrac{1}{2}m_i v_i^{2}=\tfrac{1}{2}m_i(\omega r_i)^{2}=\tfrac{1}{2}(m_i r_i^{2})\omega^{2}. Somando para todas dá \tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  • Portanto, nosso trabalho será: achar as distâncias de cada uma das três massas ao eixo (os r_i), calcular I=\sum m r_i^2 e então usar E=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.

Passo 3

Geometria necessária (distância do centro do triângulo aos vértices):
  • Para um triângulo equilátero de lado \,l, a altura vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,l.
  • O centro (circuncentro, baricentro e incentro coincidem no equilátero). A distância do vértice até o centro é \tfrac{2}{3} da altura (porque o baricentro fica a 2/3 da mediana desde o vértice). Logo o raio (distância do centro a cada vértice) é
R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,l=\frac{l}{\sqrt{3}}.
Portanto cada vértice está a uma distância R=\dfrac{l}{\sqrt{3}} do centro do triângulo.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia e da energia para o caso (a) — eixo pelo centro, perpendicular ao plano:
  • Cada uma das três massas está à mesma distância do eixo: r_1=r_2=r_3=R=\dfrac{l}{\sqrt{3}}.
  • Usando I=\sum m r_i^2,
I_a=3\;m\;R^{2}=3m\left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^{2}=3m\frac{l^{2}}{3}=m l^{2}.
  • Agora a energia rotacional:
E_{a}=\tfrac{1}{2}I_a\omega^{2}=\tfrac{1}{2}\bigl(m l^{2}\bigr)\omega^{2}=\tfrac{1}{2}m l^{2}\omega^{2}.
Comentário amigável: então a expressão dada no enunciado estava certinha — derivamos passo a passo e mostramos de onde vem cada termo.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia e da energia para o caso (b) — eixo passando por um vértice, perpendicular ao plano:
  • Escolhemos o eixo passando por um vértice (chame-o de vértice A). A massa que está exatamente nesse vértice tem distância r_A=0 ao eixo. As outras duas massas (nos vértices B e C) estão a distância igual ao lado do triângulo em relação a A, ou seja r_B=r_C=l. (Explicação: a distância entre A e B é o próprio lado \,l.)
  • Momento de inércia:
I_b = m\cdot 0^{2} + m\cdot l^{2} + m\cdot l^{2} = 2 m l^{2}.
  • Energia rotacional:
E_{b}=\tfrac{1}{2}I_b\omega^{2}=\tfrac{1}{2}\bigl(2 m l^{2}\bigr)\omega^{2}=m l^{2}\omega^{2}.
Pequena observação: aqui deu um resultado simples porque duas massas descrevem círculos de raio l e a terceira está fixada no eixo.

Passo 6

Comparação (item c): qual é maior e por quantas vezes?
  • Temos \;E_a=\tfrac{1}{2}m l^{2}\omega^{2} e \;E_b=m l^{2}\omega^{2}.
  • A razão é
\frac{E_{b}}{E_{a}}=\frac{m l^{2}\omega^{2}}{\tfrac{1}{2}m l^{2}\omega^{2}}=2.
Portanto \;E_{b} é o dobro de \;E_{a}. Em palavras: a rotação com eixo passando por um vértice tem energia cinética duas vezes maior do que quando o eixo passa pelo centro (para a mesma \omega).

Resposta

a) \displaystyle E_{a}=\tfrac{1}{2}m l^{2}\omega^{2}
b) \displaystyle E_{b}=m l^{2}\omega^{2}
c) \displaystyle E_{b}=2E_{a} (ou seja, E_{b} é duas vezes maior que E_{a}).

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