Se uma partícula P está sob a ação de uma força F que é paralela ao deslocamento de P, então o trabalho realizado pela força F entre as posições x1 e x2 é dado por
W=integralx1^x2 F(x) d x
Note que nessa expressão, a força F é uma função da posição x. Suponha que a função posição de P é x(t)=2 t+1 e que a força em função do tempo é F(t)=3 t^2+t-1. Determine o trabalho realizado pela força F entre as posições x1=3 e x2=7.

Passo 1

O enunciado pergunta o trabalho realizado por uma força paralela ao deslocamento de uma partícula que se move segundo a função de posição x(t)=2t+1, dado que a força depende do tempo como F(t)=3t^2+t-1, e queremos o trabalho entre x1=3 e x2=7. O conteúdo é cálculo de trabalho em 1D via integral e mudança de variável de x para o parâmetro t.

Passo 2

Para achar os instantes que correspondem a x1=3 e x2=7, resolvemos as equações:
2t+1=3
2t+1=7
Isso dá t1=1 e t2=3.

Passo 3

Como W=integralx1^x2F(x),dx e não temos F(x) diretamente, usamos dx=dxdtdt. Aqui dxdt=2, então:
W=integralt1^t2F(t),dxdt,dt=integral1^3(3t^2+t-1)cdot2,dt

Passo 4

Simplificamos o integrando:
2(3t^2+t-1)=6t^2+2t-2
Agora integramos de t=1 a t=3:
W=integral1^3(6t^2+2t-2),dt

Passo 5

Calculamos a primitiva e avaliamos nos limites:
Primitiva de 6t^2+2t-2 é 2t^3+t^2-2t.
Então:
W=l[2t^3+t^2-2tr]1^3=(2cdot27+9-6)-(2+1-2)=57-1=56

Resposta

56

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