Uma partícula sofre a ação de uma força dada (em dinas) por F=c(x^3 ix+x^2 y iy+0 iz), onde x, y e z são suas coordenadas de posição medidas em centímetros, da origem ao longo de um conjunto particular de eixos, e c é uma constante que tem o valor numérico 1,000 .
Quanto trabalho deve ser realizado na partícula para movê-la em torno da trajetória fechada OABDO?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma partícula em 2D que sofre uma força
F = cl(x^3,ix + x^2y,iy + 0,izr),
com em centímetros e (em dinas). Queremos saber o trabalho feito por essa força ao redor da trajetória fechada O→A→B→D→O, onde
  • O = (0,0)
  • A = (2,0)
  • B = (2,1)
  • D = (0,1)
Conteúdo: cálculo de integral de linha (trabalho de uma força). Vamos precisar:
  1. Entender que, por essa força não ser conservativa (curl ≠ 0), não dá pra usar função potencial.
  2. Dividir o contorno em trechos e calcular somando cada parte.

Passo 2

Teoria rápida: o trabalho realizado por W = integralC Fcdot dr ao longo de um caminho é
Se a força não for conservativa (ou seja, ), o resultado depende do caminho e não dá pra achar um potencial fácil. Então a gente quebra o caminho em pedaços simples (aqui são 4 segmentos retos) e integra em cada um.

Passo 3

Segmento OA (de (0,0) a (2,0)):
  • Parâmetro: WOA = integral0^2 c,t^3,dt = c;t^44|0^2 = c;164 = 4c , , com de 0 a 2.
  • .

  • Integral:

Passo 4

Segmento AB (de (2,0) a (2,1)):
  • Parâmetro: WAB = integral0^1 4c,t,dt = 4c;t^22|0^1 = 2c , , .
  • .

  • Integral:

Passo 5

Segmento BD (de (2,1) a (0,1)):
  • Parâmetro: WBD = integral2^0 c,t^3,dt = c;t^44|2^0 = cl(0-164r) = -4c , , com de 2 até 0.
  • (note que é negativo, pois vai de 2 a 0).

  • Integral:

Passo 6

Segmento DO (de (0,1) a (0,0)):
  • Parâmetro: WDO = integral1^0 0,dt = 0 , , de 1 até 0.
  • nessa reta (porque zera ambas as componentes).
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Resposta

Somando todos os pedaços:
W = WOA + WAB + WBD + WDO = 4c + 2c + (-4c) + 0 = 2c
Com boxedW = 2000 erg ,

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