Uma partícula está submetida a uma força cujo módulo é proporcional ao módulo da velocidade da partícula e atua numa direção perpendicular à do vetor velocidade. Nessas condições, a energia cinética da partícula deve:
A) crescer linearmente com o tempo.
B) crescer quadraticamente com o tempo.
C) diminuir linearmente com o tempo.
D) diminuir quadraticamente com o tempo.
E) permanecer inalterada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma partícula sujeita a uma força cuja magnitude é proporcional ao módulo da velocidade da partícula.
  • Essa força atua numa direção perpendicular à do vetor velocidade em todo instante.
    A pergunta é: nessas condições, a energia cinética da partícula deve (escolher entre as opções dadas):
    A) crescer linearmente com o tempo.
    B) crescer quadraticamente com o tempo.
    C) diminuir linearmente com o tempo.
    D) diminuir quadraticamente com o tempo.
    E) permanecer inalterada.

Passo 2

Definição de energia cinética e símbolos usados.
  • A energia cinética K de uma partícula de massa m e velocidade \mathbf{v} é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde v=|\mathbf{v}| é o módulo da velocidade. Aqui m é constante (massa da partícula) e v^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Como a energia cinética muda no tempo? Vou derivar K em relação ao tempo passo a passo.
Começo usando v^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}. Aplicando derivada temporal:
\frac{d}{dt}(v^{2})=\frac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=2\,\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}=2\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a},
onde \mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} é a aceleração. Então
\frac{dK}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=\tfrac{1}{2}m\cdot\frac{d}{dt}(v^{2})= \tfrac{1}{2}m\cdot 2\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=m\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}.

Passo 4

Relacionando com a força: pela segunda lei de Newton vale \mathbf{F}=m\mathbf{a}. Substituindo em \dfrac{dK}{dt} obtemos
\frac{dK}{dt}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{F}.
Essa expressão tem interpretação física: \mathbf{v}\cdot\mathbf{F} é a potência instantânea fornecida pela força — a taxa de variação da energia cinética.

Passo 5

Propriedade do produto escalar (dot product). Para quaisquer vetores \mathbf{F} e \mathbf{v},
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{F}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Se \mathbf{F} é sempre perpendicular a \mathbf{v}, então \theta=90^\circ e \cos 90^\circ=0. Portanto
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 6

Substituindo no resultado para \dfrac{dK}{dt}:
\frac{dK}{dt}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{F}=0.
Isso significa que a taxa de variação da energia cinética é zero: a energia cinética não muda com o tempo.

Passo 7

Comentário didático e exemplo rápido: o fato de o módulo de \mathbf{F} ser proporcional a v (por exemplo |\mathbf{F}|=k v) não altera o ponto acima, porque a potência depende do produto escalar. Mesmo que |\mathbf{F}| varie, se \mathbf{F} permanece sempre perpendicular a \mathbf{v} então \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0 sempre. Um exemplo concreto é o movimento circular uniforme: a força centrípeta é perpendicular à velocidade e mantém v constante, logo K constante.

Resposta

E) permanecer inalterada.

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