Uma partícula está submetida a uma força cujo módulo é proporcional ao módulo da velocidade da partícula e atua numa direção perpendicular à do vetor velocidade. Nessas condições, a energia cinética da partícula deve:
A) crescer linearmente com o tempo.
B) crescer quadraticamente com o tempo.
C) diminuir linearmente com o tempo.
D) diminuir quadraticamente com o tempo.
E) permanecer inalterada.
A) crescer linearmente com o tempo.
B) crescer quadraticamente com o tempo.
C) diminuir linearmente com o tempo.
D) diminuir quadraticamente com o tempo.
E) permanecer inalterada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma partícula sujeita a uma força cuja magnitude é proporcional ao módulo da velocidade da partícula.
- Essa força atua numa direção perpendicular à do vetor velocidade em todo instante.
A pergunta é: nessas condições, a energia cinética da partícula deve (escolher entre as opções dadas):
A) crescer linearmente com o tempo.
B) crescer quadraticamente com o tempo.
C) diminuir linearmente com o tempo.
D) diminuir quadraticamente com o tempo.
E) permanecer inalterada.
Passo 2
Definição de energia cinética e símbolos usados.
- A energia cinética
de uma partícula de massa e velocidade é
onde
é o módulo da velocidade. Aqui
é constante (massa da partícula) e
.
Passo 3
Como a energia cinética muda no tempo? Vou derivar
em relação ao tempo passo a passo.
Começo usando . Aplicando derivada temporal:
Começo usando
onde
é a aceleração. Então
Passo 4
Relacionando com a força: pela segunda lei de Newton vale
. Substituindo em
obtemos
Essa expressão tem interpretação física:
é a potência instantânea fornecida pela força — a taxa de variação da energia cinética.
Passo 5
Propriedade do produto escalar (dot product). Para quaisquer vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Se
é sempre perpendicular a
, então
e
. Portanto
Passo 6
Substituindo no resultado para
:
Isso significa que a taxa de variação da energia cinética é zero: a energia cinética não muda com o tempo.
Passo 7
Comentário didático e exemplo rápido: o fato de o módulo de
ser proporcional a
(por exemplo
) não altera o ponto acima, porque a potência depende do produto escalar. Mesmo que
varie, se
permanece sempre perpendicular a
então
sempre. Um exemplo concreto é o movimento circular uniforme: a força centrípeta é perpendicular à velocidade e mantém
constante, logo
constante.
Resposta
E) permanecer inalterada.