Uma partícula é submetida a um potencial dado por V(x)=A|x|. Sem tentar resolver a equação de Schrödinger, faça um esboço da função de onda do estado fundamental;

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial \,V(x)=A|x|\, (com A>0) e pede: sem resolver a equação de Schrödinger, fazer um esboço da função de onda do estado fundamental. Informações relevantes fornecidas:
  • O potencial é simétrico em torno de x=0 porque \,V(-x)=V(x).
  • Tem mínimo em x=0 com V(0)=0.
  • \,V(x)\to+\infty quando |x|\to\infty, logo existem estados ligados (autovalores discretos).
  • O pedido é apenas um esboço qualitativo da função de onda do menor autovalor (estado fundamental), sem resolver a equação.

Passo 2

Paridade e consequência imediata: por causa da simetria do potencial a hamiltoniana comuta com a operação de inversão x\mapsto -x. Assim os autostados podem ser escolhidos com paridade definida (pares ou ímpares). O estado fundamental normalmente tem paridade par (mesmo) — por que?
  • Intuição didática: o estado mais baixo de energia evita nós porque cada nó acrescentaria energia cinética. Um estado ímpar obrigaria \psi(0)=0 (um nó em x=0), o que tende a aumentar a energia. Portanto o estado fundamental é par e não tem nós. Conclusão: \psi_0(x) é uma função real (podemos escolher real), par e sem zeros (exceto \psi_0 não nulo).

Passo 3

Condições no ponto x=0 por simetria:
  • Como \psi_0(x) é par, vale \psi_0(-x)=\psi_0(x). Assim a derivada em 0 deve ser nula:
\psi_0'(0)=0.
  • Além disso, \psi_0 é contínua e tem derivadas finitas (a equação de Schrödinger é de segunda ordem e V(x) é finita em x=0), então a curva é suave em x=0 (não há descontinuidade em \psi ou \psi').

Passo 4

Comportamento clássico/qualitativo: pontos clássicos de inversão (turning points)
  • Defina a energia do estado fundamental por \,E_0. Os pontos onde a energia coincide com o potencial satisfazem \,V(x)=E_0.
  • Como V(x)=A|x|, os pontos de inversão são simétricos e dados por
x=\pm x_t,\qquad x_t=\frac{E_0}{A}.
  • Para |x|<x_t temos V(x)<E_0 (região clássica permitida): a função de onda no interior tende a oscilar de forma suave (no caso do estado fundamental ela não tem nós, então é apenas uma “ondulação” com máximo em 0).
  • Para |x|>x_t temos V(x)>E_0 (região proibida): a função de onda deve decair para zero quando |x|\to\infty.

Passo 5

Forma qualitativa no interior ( |x|<x_t):
  • Como é o menor estado ligado e é par e sem nós, \psi_0(x) tem seu máximo absoluto em x=0.
  • Por consequência a forma entre -x_t e +x_t lembra a metade de uma oscilação suave: começa com inclinação nula em 0, vai decrescendo até atingir valores pequenos próximos a x_t.
  • Uma analogia útil: compare com o estado fundamental do oscilador harmônico (que também é par e tem máximo em 0). A diferença é que aqui a “curvatura” da função de onda é determinada por uma força restauradora que cresce linearmente com |x|, não quadraticamente. Então o pico é mais pontiagudo que o do oscilador harmônico, mas ainda suave.

Passo 6

Comportamento nas caudas ( |x|>x_t):
  • Fora da região permitida a função de onda decai monotonicamente até zero. Para um potencial que cresce linearmente com |x| a solução na cauda tem comportamento qualitativo igual ao de uma função do tipo Airy; isto significa decaimento rápido (aproximado por \exp(-\mathrm{const}\cdot x^{3/2}) para x\to\infty em termos assintóticos), ou seja, decai mais rápido que uma simples exponencial simples de x.
  • O que importa no esboço: as caudas vão a zero rapidamente e sem oscilações.

Passo 7

Suavidade global e continuidade das derivadas:
  • Mesmo que V(x) tenha um canto (kink) em x=0 porque \,dV/dx salta de -A para +A, isso não força descontinuidade em \psi ou \psi'. A equação de Schrödinger num ponto em que V é finita exige que \psi e \psi' sejam contínuas. Logo o esboço deve ser uma curva C^1 suave em todo x.

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o esboço (passo a passo no papel):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e \psi(x) (vertical).
  2. Marque o ponto x=0. Como \psi_0 é par, desenhe a metade direita e espelhe para a esquerda.
  3. Em x=0 faça um pico (máximo) com tangente horizontal (ou seja, derivative zero).
  4. Faça a curva decrescer suavemente até chegar aos pontos \pm x_t (marque-os aprox. como as abscissas onde a amplitude já é pequena).
  5. Para |x|>x_t desenhe caudas monotônicas decrescentes indo rapidamente para zero, sem oscilações.
  6. Não desenhe nós (zeros) entre -x_t e +x_t. A curva é positiva para todo x (pode escolher \psi_0(x)>0 por convenção).
  7. Legende: escreva \psi_0'(0)=0, marque \pm x_t com x_t=E_0/A e indique que as caudas são do tipo Airy (decaimento rápido).

Passo 9

Resumo físico e lembretes para prova (como lembrar rapidamente o esboço):
  • Potencial simétrico \Rightarrow estados com paridade; ground state é par e sem nós.
  • Máximo em x=0 com derivada nula.
  • Existência de turning points \pm x_t dados por \,A x_t = E_0.
  • Caudas decrescentes e rápidas para |x|\to\infty (comportamento tipo Airy).
  • A curva é suave (contínua com derivada contínua).

Resposta

Função de onda do estado fundamental: uma função real e par, sem nós, com máximo em x=0 e \psi_0'(0)=0; decresce suavemente até os pontos de inversão x=\pm x_t com x_t=E_0/A e apresenta caudas monotônicas que tendem a zero quando |x|\to\infty (caudas do tipo Airy, decaimento rápido).

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