Uma partícula é submetida a um potencial dado por
. Sem tentar resolver a equação de Schrödinger, faça um esboço da função de onda do estado fundamental;
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial
(com
) e pede: sem resolver a equação de Schrödinger, fazer um esboço da função de onda do estado fundamental. Informações relevantes fornecidas:
- O potencial é simétrico em torno de
porque . - Tem mínimo em
com . -
quando , logo existem estados ligados (autovalores discretos). - O pedido é apenas um esboço qualitativo da função de onda do menor autovalor (estado fundamental), sem resolver a equação.
Passo 2
Paridade e consequência imediata: por causa da simetria do potencial a hamiltoniana comuta com a operação de inversão
. Assim os autostados podem ser escolhidos com paridade definida (pares ou ímpares). O estado fundamental normalmente tem paridade par (mesmo) — por que?
- Intuição didática: o estado mais baixo de energia evita nós porque cada nó acrescentaria energia cinética. Um estado ímpar obrigaria
(um nó em ), o que tende a aumentar a energia. Portanto o estado fundamental é par e não tem nós. Conclusão: é uma função real (podemos escolher real), par e sem zeros (exceto não nulo).
Passo 3
Condições no ponto
por simetria:
- Como
é par, vale . Assim a derivada em deve ser nula:
- Além disso,
é contínua e tem derivadas finitas (a equação de Schrödinger é de segunda ordem e é finita em ), então a curva é suave em (não há descontinuidade em ou ).
Passo 4
Comportamento clássico/qualitativo: pontos clássicos de inversão (turning points)
- Defina a energia do estado fundamental por
. Os pontos onde a energia coincide com o potencial satisfazem . - Como
, os pontos de inversão são simétricos e dados por
- Para
temos (região clássica permitida): a função de onda no interior tende a oscilar de forma suave (no caso do estado fundamental ela não tem nós, então é apenas uma “ondulação” com máximo em ). - Para
temos (região proibida): a função de onda deve decair para zero quando .
Passo 5
Forma qualitativa no interior (
):
- Como é o menor estado ligado e é par e sem nós,
tem seu máximo absoluto em . - Por consequência a forma entre
e lembra a metade de uma oscilação suave: começa com inclinação nula em , vai decrescendo até atingir valores pequenos próximos a . - Uma analogia útil: compare com o estado fundamental do oscilador harmônico (que também é par e tem máximo em 0). A diferença é que aqui a “curvatura” da função de onda é determinada por uma força restauradora que cresce linearmente com
, não quadraticamente. Então o pico é mais pontiagudo que o do oscilador harmônico, mas ainda suave.
Passo 6
Comportamento nas caudas (
):
- Fora da região permitida a função de onda decai monotonicamente até zero. Para um potencial que cresce linearmente com
a solução na cauda tem comportamento qualitativo igual ao de uma função do tipo Airy; isto significa decaimento rápido (aproximado por para em termos assintóticos), ou seja, decai mais rápido que uma simples exponencial simples de . - O que importa no esboço: as caudas vão a zero rapidamente e sem oscilações.
Passo 7
Suavidade global e continuidade das derivadas:
- Mesmo que
tenha um canto (kink) em porque salta de para , isso não força descontinuidade em ou . A equação de Schrödinger num ponto em que é finita exige que e sejam contínuas. Logo o esboço deve ser uma curva C^1 suave em todo .
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o esboço (passo a passo no papel):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). - Marque o ponto
. Como é par, desenhe a metade direita e espelhe para a esquerda. - Em
faça um pico (máximo) com tangente horizontal (ou seja, derivative zero). - Faça a curva decrescer suavemente até chegar aos pontos
(marque-os aprox. como as abscissas onde a amplitude já é pequena). - Para
desenhe caudas monotônicas decrescentes indo rapidamente para zero, sem oscilações. - Não desenhe nós (zeros) entre
e . A curva é positiva para todo (pode escolher por convenção). - Legende: escreva
, marque com e indique que as caudas são do tipo Airy (decaimento rápido).
Passo 9
Resumo físico e lembretes para prova (como lembrar rapidamente o esboço):
- Potencial simétrico
estados com paridade; ground state é par e sem nós. - Máximo em
com derivada nula. - Existência de turning points
dados por . - Caudas decrescentes e rápidas para
(comportamento tipo Airy). - A curva é suave (contínua com derivada contínua).
Resposta
Função de onda do estado fundamental: uma função real e par, sem nós, com máximo em
e
; decresce suavemente até os pontos de inversão
com
e apresenta caudas monotônicas que tendem a zero quando
(caudas do tipo Airy, decaimento rápido).