Uma partícula é submetida a um potencial dado por V(x)=A|x|. Sem tentar resolver a equação de Schrödinger, faça um esboço da função de onda do primeiro estado excitado.

Passo 1

O enunciado dá o potencial \,V(x)=A|x|\, (com A>0) e pede um esboço da função de onda do primeiro estado excitado, sem resolver explicitamente a equação de Schrödinger. As informações relevantes são:
  • O potencial é simétrico em torno de x=0 porque \,V(-x)=V(x)\,.
  • Não é pedido o valor da energia, apenas a forma qualitativa da função de onda do primeiro estado excitado.
  • É esperado que a função de onda seja normalizável (decai quando |x|\to\infty).

Passo 2

Paridade das autofunções (consequência da simetria do potencial). Explicando passo a passo: quando o potencial é uma função par (aqui \,V(x)=V(-x)\,), a equação de Schrödinger com condições normais admite soluções que têm paridade definida — isto é, são ou pares ou ímpares. Isso vem do fato de que se \psi(x) é solução com energia E, então \psi(-x) também é solução com a mesma energia; combinando essas duas soluções obtém-se funções pares ( \psi(x)+\psi(-x)) e ímpares ( \psi(x)-\psi(-x)). Consequência prática:
  • O autoestado fundamental é tipicamente par (sem nós internos).
  • O primeiro estado excitado tem paridade ímpar. Portanto, para o primeiro excitado vale \,\psi_1(0)=0\,.

Passo 3

Nós e ordem dos estados (teorema de Sturm-Liouville, explicação simples). Em uma cadeia de autovalores reais e ordenados, o n-ésimo autostado tem n nós (contando a contagem usual: ground state sem nós internos, 1º excitado com um nó, etc.). Aqui o primeiro excitado terá exatamente um nó. Como a função é ímpar e contínua, esse nó ocorre em x=0. Então a primeira característica a desenhar é: zero em x=0.

Passo 4

Regiões clássica e não-clássica (turning points). Defina E_1 como a energia do primeiro excitado (não precisamos do valor numérico). Os pontos clássicos de inversão (turning points) satisfazem \,V(x)=E_1. Como V(x)=A|x|, temos os turning points simétricos
x_t=\frac{E_1}{A}
e -x_t. Explicação do comportamento da solução:
  • Para |x|<x_t (região onde E_1>V(x)) a partícula está em região clássica permitida e a solução é oscilatória (tem variações de sinal).
  • Para |x|>x_t (região onde E_1<V(x)) a solução é evanescente e decai quando |x|\to\infty.
    Conclusão qualitativa: a função de onda oscila entre -x_t e +x_t e decai exponencialmente fora desses pontos.

Passo 5

Comportamento perto de x=0 (por que é aproximadamente linear). Como \psi_1 é ímpar, a série de Taylor ao redor de zero tem a forma \,\psi_1(x)=C x + O(x^3)\,, ou seja, para x pequeno a função varia aproximadamente como uma reta passando pela origem. Aqui C=\psi_1'(0) é não nulo (senão a função seria nula identicamente). Além disso, apesar de V(x) ter uma “quina” em x=0 (derivada de V descontinua), a própria \psi e \psi' são contínuas em x=0 porque o potencial é finito (um salto finito ou descontinuidade da derivada de V não impõe salto em \psi'; saltos em \psi' só aparecem se houver um termo delta em V). Portanto o esboço não deve ter cusp em \psi — a curva atravessa a origem com inclinação finita e contínua.

Passo 6

Forma qualitativa completa da função de onda (síntese do que desenhar). Juntando tudo:
  • \psi_1 é ímpar: \psi_1(-x)=-\psi_1(x).
  • \psi_1(0)=0 (nó único).
  • Para 0<x<x_t a função tem um lóbulo com sinal (por exemplo positivo) e um máximo em algum ponto 0<x<x_t; simetricamente para -x_t<x<0 tem um lóbulo de sinal oposto (por exemplo negativo).
  • Em x=\pm x_t ocorre a transição de comportamento oscilatório para decaimento; para |x|>x_t a função decai rapidamente (comportamento do tipo função de Airy no contorno, que leva a decaimento exponencial na região proibida).
  • A função e sua derivada são suaves (contínuas) em todo x, incluindo x=0.

Passo 7

Como desenhar passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Trace os eixos x e \psi.
  2. Marque o ponto x=0. Coloque \psi(0)=0.
  3. Escolha um ponto x_t>0 (rotule como x_t=\dfrac{E_1}{A}) para indicar os turning points aproximados.
  4. Para x ligeiramente positivo desenhe a curva subindo linearmente a partir da origem (pendente finita), alcançando um máximo entre 0 e x_t, e depois caindo até uma pequena amplitude em x_t e continuando para zero de modo exponencial para x>x_t.
  5. Para x<0 desenhe a imagem espelhada e com sinal trocado (lóbulo negativo), garantindo suavidade em x=0 (a inclinação à esquerda tem mesmo módulo e sinal oposto da inclinação à direita).
  6. Rotule: um nó em x=0, lobos em cada lado com sinais opostos, decaimento para |x|\to\infty.

Passo 8

Comentário final e intuição física curta. Intuitivamente, o primeiro excitado é a “primeira moda ímpar” do poço suave criado por A|x|: tem justamente um nó no centro e um lóbulo em cada lado, como uma corda vibrando no seu primeiro harmônico ímpar, e as pontas vão desaparecendo porque o potencial sobe sem limite e prende a partícula.

Resposta

A função de onda do primeiro estado excitado é ímpar, com \psi_1(0)=0; tem exatamente um nó (em x=0), um lóbulo em x<0 e outro em x>0 com sinais opostos, comportamento aproximadamente linear próximo de x=0 ( \psi_1(x)\approx Cx para x pequeno), é oscilatória na região clássica |x|<x_t com x_t=\dfrac{E_1}{A} (sendo E_1 a energia do primeiro excitado) e decai exponencialmente para |x|>x_t; \psi_1 e \psi_1' são contínuas em todo x.

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