Uma partícula é submetida a um potencial dado por
. Sem tentar resolver a equação de Schrödinger, faça um esboço da função de onda do primeiro estado excitado.
Passo 1
O enunciado dá o potencial
(com
) e pede um esboço da função de onda do primeiro estado excitado, sem resolver explicitamente a equação de Schrödinger. As informações relevantes são:
- O potencial é simétrico em torno de
porque . - Não é pedido o valor da energia, apenas a forma qualitativa da função de onda do primeiro estado excitado.
- É esperado que a função de onda seja normalizável (decai quando
).
Passo 2
Paridade das autofunções (consequência da simetria do potencial). Explicando passo a passo: quando o potencial é uma função par (aqui
), a equação de Schrödinger com condições normais admite soluções que têm paridade definida — isto é, são ou pares ou ímpares. Isso vem do fato de que se
é solução com energia
, então
também é solução com a mesma energia; combinando essas duas soluções obtém-se funções pares (
) e ímpares (
). Consequência prática:
- O autoestado fundamental é tipicamente par (sem nós internos).
- O primeiro estado excitado tem paridade ímpar. Portanto, para o primeiro excitado vale
.
Passo 3
Nós e ordem dos estados (teorema de Sturm-Liouville, explicação simples). Em uma cadeia de autovalores reais e ordenados, o
-ésimo autostado tem
nós (contando a contagem usual: ground state sem nós internos, 1º excitado com um nó, etc.). Aqui o primeiro excitado terá exatamente um nó. Como a função é ímpar e contínua, esse nó ocorre em
. Então a primeira característica a desenhar é: zero em
.
Passo 4
Regiões clássica e não-clássica (turning points). Defina
como a energia do primeiro excitado (não precisamos do valor numérico). Os pontos clássicos de inversão (turning points) satisfazem
. Como
, temos os turning points simétricos
e
. Explicação do comportamento da solução:
- Para
(região onde ) a partícula está em região clássica permitida e a solução é oscilatória (tem variações de sinal). - Para
(região onde ) a solução é evanescente e decai quando .
Conclusão qualitativa: a função de onda oscila entree e decai exponencialmente fora desses pontos.
Passo 5
Comportamento perto de
(por que é aproximadamente linear). Como
é ímpar, a série de Taylor ao redor de zero tem a forma
, ou seja, para
pequeno a função varia aproximadamente como uma reta passando pela origem. Aqui
é não nulo (senão a função seria nula identicamente). Além disso, apesar de
ter uma “quina” em
(derivada de
descontinua), a própria
e
são contínuas em
porque o potencial é finito (um salto finito ou descontinuidade da derivada de
não impõe salto em
; saltos em
só aparecem se houver um termo delta em
). Portanto o esboço não deve ter cusp em
— a curva atravessa a origem com inclinação finita e contínua.
Passo 6
Forma qualitativa completa da função de onda (síntese do que desenhar). Juntando tudo:
-
é ímpar: . -
(nó único). - Para
a função tem um lóbulo com sinal (por exemplo positivo) e um máximo em algum ponto ; simetricamente para tem um lóbulo de sinal oposto (por exemplo negativo). - Em
ocorre a transição de comportamento oscilatório para decaimento; para a função decai rapidamente (comportamento do tipo função de Airy no contorno, que leva a decaimento exponencial na região proibida). - A função e sua derivada são suaves (contínuas) em todo
, incluindo .
Passo 7
Como desenhar passo a passo (instrução prática para a prova):
- Trace os eixos
e . - Marque o ponto
. Coloque . - Escolha um ponto
(rotule como ) para indicar os turning points aproximados. - Para
ligeiramente positivo desenhe a curva subindo linearmente a partir da origem (pendente finita), alcançando um máximo entre e , e depois caindo até uma pequena amplitude em e continuando para zero de modo exponencial para . - Para
desenhe a imagem espelhada e com sinal trocado (lóbulo negativo), garantindo suavidade em (a inclinação à esquerda tem mesmo módulo e sinal oposto da inclinação à direita). - Rotule: um nó em
, lobos em cada lado com sinais opostos, decaimento para .
Passo 8
Comentário final e intuição física curta. Intuitivamente, o primeiro excitado é a “primeira moda ímpar” do poço suave criado por
: tem justamente um nó no centro e um lóbulo em cada lado, como uma corda vibrando no seu primeiro harmônico ímpar, e as pontas vão desaparecendo porque o potencial sobe sem limite e prende a partícula.
Resposta
A função de onda do primeiro estado excitado é ímpar, com
; tem exatamente um nó (em
), um lóbulo em
e outro em
com sinais opostos, comportamento aproximadamente linear próximo de
(
para
pequeno), é oscilatória na região clássica
com
(sendo
a energia do primeiro excitado) e decai exponencialmente para
;
e
são contínuas em todo
.