Seja r(t)=t^{3} \hat{i}+5 t \hat{\jmath}-20 k a posição de uma partícula.
a) Calcule o módulo da velocidade em \mathrm{t}=20.
b) Determine a aceleração para \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
r(t)=t^{3}\,\hat{i}+5t\,\hat{\jmath}-20\,\hat{k},
e pede duas coisas:
  • (a) calcular o módulo da velocidade em t=20;
  • (b) determinar a aceleração em t=3\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • componente x da posição: x(t)=t^{3};
  • componente y da posição: y(t)=5t;
  • componente z da posição: z(t)=-20 (constante).
    A resolução começa derivando componente a componente para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Como a posição é um vetor cujas componentes são funções de t, a velocidade é a derivada componente a componente:
v(t)=\frac{d}{dt}r(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\bigl(5t\bigr)\,\hat{\jmath}+\frac{d}{dt}\bigl(-20\bigr)\,\hat{k}.
Revisando regras de derivação simples (mini-aula rápida):
  • Regra para potência: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
  • Derivada de uma constante vezes t: \dfrac{d}{dt}(a t)=a.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dt}(\text{const})=0.
Aplicando:
v(t)=3t^{2}\,\hat{i}+5\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}=3t^{2}\,\hat{i}+5\,\hat{\jmath}.

Passo 3

Agora calculamos o módulo (comprimento) da velocidade. Para um vetor \,v(t)=v_{x}(t)\,\hat{i}+v_{y}(t)\,\hat{\jmath}+v_{z}(t)\,\hat{k}\, o módulo é
\|v(t)\|=\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}}.
No nosso caso v_{x}(t)=3t^{2}, v_{y}(t)=5 e v_{z}(t)=0. Logo
\|v(t)\|=\sqrt{(3t^{2})^{2}+5^{2}}=\sqrt{9t^{4}+25}.

Passo 4

Agora avaliamos o módulo em t=20. Primeiro as componentes numéricas:
v_{x}(20)=3\cdot20^{2}=3\cdot400=1200,\qquad v_{y}(20)=5.
Portanto
\|v(20)\|=\sqrt{1200^{2}+5^{2}}=\sqrt{1\,440\,000+25}=\sqrt{1\,440\,025}.
Podemos fatorar 25 para ver outra forma:
\|v(20)\|=\sqrt{25\cdot57\,601}=5\sqrt{57\,601}.
Uma aproximação prática (útil na prova sem calculadora) usa a expansão linear para raízes próximas: como 5\ll1200,
\sqrt{1200^{2}+5^{2}}=1200\sqrt{1+\left(\frac{5}{1200}\right)^{2}}\approx1200\left(1+\tfrac{1}{2}\left(\frac{5}{1200}\right)^{2}\right) =1200+\frac{25}{2\cdot1200}=1200+0{,}010416\ldots
Assim
\|v(20)\|\approx1200{,}010416\ldots

Passo 5

Agora a aceleração: é a derivada da velocidade componente a componente. Tomando v(t)=3t^{2}\,\hat{i}+5\,\hat{\jmath},
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}(5)\,\hat{\jmath}=\;6t\,\hat{i}+0\,\hat{\jmath}=6t\,\hat{i}.
Usando a regra potência ( \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t) multiplicada por constante.

Passo 6

Avaliaremos a(t) em t=3\\ \text{s}:
a(3)=6\cdot3\,\hat{i}=18\,\hat{i}.
Se as unidades de r(t) fossem metros e t segundos, então \|v(20)\| estaria em \text{m/s} e a(3) em \text{m/s}^{2}.

Resposta

\|v(20)\|=\sqrt{1\,440\,025}\approx1200{,}010416\\ \text{(unidades de velocidade)}
a(3)=18\,\hat{i}\\ \text{(unidades de aceleração)}çã

Exercícios relacionados