Seja
a posição de uma partícula.
a) Calcule o módulo da velocidade em
.
b) Determine a aceleração para
.
a) Calcule o módulo da velocidade em
b) Determine a aceleração para
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula
e pede duas coisas:
- (a) calcular o módulo da velocidade em
; - (b) determinar a aceleração em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- componente
da posição: ; - componente
da posição: ; - componente
da posição: (constante).
A resolução começa derivando componente a componente para obter velocidade e aceleração.
Passo 2
Como a posição é um vetor cujas componentes são funções de
, a velocidade é a derivada componente a componente:
Revisando regras de derivação simples (mini-aula rápida):
- Regra para potência:
. Ex.: . - Derivada de uma constante vezes
: . - Derivada de constante:
.
Aplicando:
Passo 3
Agora calculamos o módulo (comprimento) da velocidade. Para um vetor
o módulo é
No nosso caso
,
e
. Logo
Passo 4
Agora avaliamos o módulo em
. Primeiro as componentes numéricas:
Portanto
Podemos fatorar
para ver outra forma:
Uma aproximação prática (útil na prova sem calculadora) usa a expansão linear para raízes próximas: como
,
Assim
Passo 5
Agora a aceleração: é a derivada da velocidade componente a componente. Tomando
,
Usando a regra potência (
) multiplicada por constante.
Passo 6
Avaliaremos
em
:
Se as unidades de
fossem metros e
segundos, então
estaria em
e
em
.