Uma partícula tem aceleração constante dada por
a=(2 i+3 j) m / s^2
e velocidade inicial
v0=(4 i-2 j) m / s
Determine a velocidade e a posição da partícula após 5 segundos, assumindo que r(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que tem uma aceleração constante e uma velocidade inicial conhecidas. A gente vai precisar usar as fórmulas de movimento com aceleração constante para encontrar a velocidade e a posição da partícula após 5 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que usamos quando a aceleração é constante:
  • Para a velocidade em função do tempo:
    v(t) = v0 + a cdot t
  • Para a posição em função do tempo:
    r(t) = r0 + v0 cdot t + 12 a cdot t^2
Aqui, v0 é a velocidade inicial, a é a aceleração, t é o tempo, e r0 é a posição inicial.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade depois de 5 segundos. A velocidade inicial é dada por:
v0 = (4 i - 2 j) , m/s
E a aceleração é:
a = (2 i + 3 j) , m/s^2
Usando a fórmula da velocidade:
v(5) = v0 + a cdot 5

Passo 4

Vamos fazer as contas para cada componente:
  • Componente i:
    vx(5) = 4 + 2 cdot 5 = 4 + 10 = 14 , m/s
  • Componente j:
    vy(5) = -2 + 3 cdot 5 = -2 + 15 = 13 , m/s
Então, a velocidade após 5 segundos é:
v(5) = (14 i + 13 j) , m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular a posição após 5 segundos. A posição inicial é r(0) = 0, então:
r(5) = 0 + v0 cdot 5 + 12 a cdot 5^2

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • v0 cdot 5:
    (4 i - 2 j) cdot 5 = (20 i - 10 j) , m
  • 12 a cdot 5^2:
    12 (2 i + 3 j) cdot 25 = (25 i + 37,5 j) , m

Passo 7

Somando as duas partes para encontrar a posição:
r(5) = (20 i - 10 j) + (25 i + 37,5 j) = (45 i + 27,5 j) , m

Resposta

Após 5 segundos, a velocidade da partícula é v(5) = (14 i + 13 j) , m/s e a posição é r(5) = (45 i + 27,5 j) , m.

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