Uma pedra é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de 30,0^{\circ} com a horizontal, com velocidade escalar inicial de 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A altura de onde a pedra é lançada é de 45,0 \mathrm{~m} acima do solo.
a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? (Resp.: 4,21 \mathrm{~s} )
b) Qual o módulo da sua velocidade quando atinge o solo? (Resp.: 35,86 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
c) Qual o deslocamento horizontal da pedra? (Resp.: 72,92 m)

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a pedra lançada a partir do topo de um prédio:
a) o tempo que a pedra leva até atingir o solo;
b) o módulo da velocidade da pedra no instante em que atinge o solo;
c) o deslocamento horizontal (alcance horizontal) da pedra até o ponto de impacto.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{velocidade inicial: } v_0 = 20,0\\ \mathrm{m/s}
\text{ângulo de lançamento com a horizontal: } \theta = 30,0^\circâç
\text{altura inicial (do chão): } y_0 = 45,0\\ \mathrm{m}ã
\text{aceleração da gravidade: } g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}çã
Observações sobre o que podemos usar (só identificando, sem resolver ainda): a velocidade inicial tem componentes horizontal e vertical; a componente horizontal é constante (não há aceleração horizontal) e a componente vertical varia sob a ação da gravidade. Para achar o tempo até o solo basta resolver a equação do movimento vertical com condição de y=0 no instante de impacto.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é básico em movimentos oblíquos e é essencial aqui.
Definição e fórmula:
  • A componente horizontal v_{0x} é dada por v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • A componente vertical inicial v_{0y} (tomando o sentido para cima como positivo) é dada por v_{0y} = v_0\sin\theta.
Calculemos com os valores dados ( \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 e \sin 30^\circ = 1/2):
v_{0x} = 20,0\cdot\cos(30,0^\circ) = 20,0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 10,0\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}
v_{0y} = 20,0\cdot\sin(30,0^\circ) = 20,0\cdot\frac{1}{2} = 10,0\\ \mathrm{m/s}
Para referência numérica:
v_{0x}\approx 17,3205\\ \mathrm{m/s}
v_{0y}=10,0\\ \mathrm{m/s}

Passo 3

Agora montamos a equação do movimento vertical para encontrar o tempo até o solo.
Convenção: tomo y medindo para cima, com y(0)=y_0=45,0\\ \mathrm{m}. A posição vertical em função do tempo é
y(t)=y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2.
No impacto com o solo temos y(t)=0. Substituindo:
0 = 45,0 + 10,0\,t - \frac{1}{2}\cdot 9,8\,t^2.
Simplificando os coeficientes (colocando na forma padrão):
4,9\,t^2 - 10,0\,t - 45,0 = 0.
Isto é uma equação quadrática do tipo at^2 + bt + c = 0 com a=4,9, b=-10,0, c=-45,0. Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Calculemos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-10,0)^2 - 4\cdot 4,9 \cdot (-45,0) = 100 + 882 = 982.
Logo
\sqrt{\Delta}=\sqrt{982}\approx 31,3369.
Agora a raiz positiva (tempo > 0) é
t = \frac{10,0 + \sqrt{982}}{2\cdot 4,9} = \frac{10,0 + 31,3369}{9,8} \approx \frac{41,3369}{9,8} \approx 4,2174\\ \mathrm{s}.
Arredondando com dois algarismos decimais (usual em física para este nível):
t \approx 4,21\\ \mathrm{s}.
Esse é o tempo até a pedra atingir o solo.

Passo 4

Agora vamos achar a velocidade no instante do impacto. A velocidade é um vetor com componentes v_x e v_y no instante final; o módulo é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.
Primeiro, v_x é constante e igual a v_{0x}:
v_x = v_{0x} = 10,0\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 17,3205\\ \mathrm{m/s}.
Para v_y podemos usar a relação do movimento uniformemente acelerado para a componente vertical:
v_y = v_{0y} - g t.
Mas existe uma relação muito prática que evita a propagação de erros pelo valor aproximado de t: usando a equação sem tempo que relaciona velocidades e deslocamento vertical,
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(y_{\text{final}} - y_0).
Tomando y_{\text{final}}=0, temos y_{\text{final}}-y_0 = -45,0. Assim
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(-45,0) = v_{0y}^2 + 2g\cdot 45,0.
Substituindo v_{0y}=10,0 e g=9,8:
v_y^2 = 10,0^2 + 2\cdot 9,8 \cdot 45,0 = 100 + 882 = 982.
Portanto
v_y = -\sqrt{982}\approx -31,3369\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade vertical está direcionada para baixo no impacto.
Agora o módulo da velocidade:
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(10,0\sqrt{3})^2 + (\sqrt{982})^2} = \sqrt{300 + 982} = \sqrt{1282}.
Calculando:
\sqrt{1282}\approx 35,8050\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
v \approx 35,81\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Finalmente, o deslocamento horizontal (alcance horizontal) é simples porque não há aceleração horizontal: \Delta x = v_{0x}\,t.
Usando v_{0x}=10,0\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 17,3205\\ \mathrm{m/s} e o tempo arredondado t\approx 4,21\\ \mathrm{s} (ou, se preferir, o valor mais exato 4,2174\\ \mathrm{s}; eu uso aqui o tempo com duas casas decimais para consistência com o enunciado):
\Delta x = 17,3205\cdot 4,21 \approx 72,919\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\Delta x \approx 72,92\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) 4,21\\ \mathrm{s}
b) 35,81\\ \mathrm{m/s}
c) 72,92\\ \mathrm{m}

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