Uma pedra é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de
com a horizontal, com velocidade escalar inicial de
. A altura de onde a pedra é lançada é de
acima do solo.
a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? (Resp.:
)
b) Qual o módulo da sua velocidade quando atinge o solo? (Resp.:
)
c) Qual o deslocamento horizontal da pedra? (Resp.: 72,92 m)
a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? (Resp.:
b) Qual o módulo da sua velocidade quando atinge o solo? (Resp.:
c) Qual o deslocamento horizontal da pedra? (Resp.: 72,92 m)
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a pedra lançada a partir do topo de um prédio:
a) o tempo que a pedra leva até atingir o solo;
b) o módulo da velocidade da pedra no instante em que atinge o solo;
c) o deslocamento horizontal (alcance horizontal) da pedra até o ponto de impacto.
a) o tempo que a pedra leva até atingir o solo;
b) o módulo da velocidade da pedra no instante em que atinge o solo;
c) o deslocamento horizontal (alcance horizontal) da pedra até o ponto de impacto.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações sobre o que podemos usar (só identificando, sem resolver ainda): a velocidade inicial tem componentes horizontal e vertical; a componente horizontal é constante (não há aceleração horizontal) e a componente vertical varia sob a ação da gravidade. Para achar o tempo até o solo basta resolver a equação do movimento vertical com condição de
no instante de impacto.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é básico em movimentos oblíquos e é essencial aqui.
Definição e fórmula:
- A componente horizontal
é dada por . - A componente vertical inicial
(tomando o sentido para cima como positivo) é dada por .
Calculemos com os valores dados (
e
):
Para referência numérica:
Passo 3
Agora montamos a equação do movimento vertical para encontrar o tempo até o solo.
Convenção: tomo
medindo para cima, com
. A posição vertical em função do tempo é
No impacto com o solo temos
. Substituindo:
Simplificando os coeficientes (colocando na forma padrão):
Isto é uma equação quadrática do tipo
com
,
,
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculemos o discriminante:
Logo
Agora a raiz positiva (tempo > 0) é
Arredondando com dois algarismos decimais (usual em física para este nível):
Esse é o tempo até a pedra atingir o solo.
Passo 4
Agora vamos achar a velocidade no instante do impacto. A velocidade é um vetor com componentes
e
no instante final; o módulo é
Primeiro,
é constante e igual a
:
Para
podemos usar a relação do movimento uniformemente acelerado para a componente vertical:
Mas existe uma relação muito prática que evita a propagação de erros pelo valor aproximado de
: usando a equação sem tempo que relaciona velocidades e deslocamento vertical,
Tomando
, temos
. Assim
Substituindo
e
:
Portanto
O sinal negativo indica que a velocidade vertical está direcionada para baixo no impacto.
Agora o módulo da velocidade:
Calculando:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 5
Finalmente, o deslocamento horizontal (alcance horizontal) é simples porque não há aceleração horizontal:
.
Usando
e o tempo arredondado
(ou, se preferir, o valor mais exato
; eu uso aqui o tempo com duas casas decimais para consistência com o enunciado):
Arredondando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)