A particular brand of diet margarine was analyzed to determine the level of polyunsaturated fatty acid (in percentages). A sample of six packages resulted in the following data: 16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1.
(a) Check the assumption that the level of polyunsaturated fatty acid is normally distributed.
(b) Calculate a
confidence interval on the mean
. Provide a practical interpretation of this interval.
(a) Check the assumption that the level of polyunsaturated fatty acid is normally distributed.
(b) Calculate a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) verificar a suposição de que o nível de ácido graxo poliinsaturado (em porcentagem) é normalmente distribuído;
(b) calcular um intervalo de confiança de para a média
e interpretar esse intervalo na prática.
(a) verificar a suposição de que o nível de ácido graxo poliinsaturado (em porcentagem) é normalmente distribuído;
(b) calcular um intervalo de confiança de
Dados fornecidos (lista de seis observações):
.
Tamanho da amostra: .
Tamanho da amostra:
Passo 2
Calculando a média amostral passo a passo.
Fórmula da média amostral:
Somando os valores (pego diretamente do enunciado):
Logo
Explicação didática rápida: a média é simplesmente a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui cada pacote contribui com uma porcentagem, somamos tudo e dividimos por 6 para obter o valor médio observado.
Passo 3
Calculando a variância amostral e o desvio-padrão amostral (necessários para o intervalo).
Fórmula da variância amostral:
Calculo dos desvios ao quadrado (usando
):
Somando esses quadrados (valores obtidos a partir dos dados acima):
Dividindo por
:
Desvio-padrão amostral:
Explicação didática: subtraímos a média de cada observação para ver o quanto cada uma se afasta da média, quadramos para evitar cancelamentos e sumarizamos; dividir por
dá uma estimativa não viciada da variância populacional quando usamos a amostra.
Passo 4
Verificação da suposição de normalidade (parte (a)) — como fazer e aplicação aos dados.
Métodos que usaríamos:
- Visual: QQ-plot (gráfico quantil–quantil) — ideais para ver se os pontos alinham-se numa reta.
- Teste formal: Shapiro–Wilk (bom para amostras pequenas).
- Inspeção descritiva: comparar média e mediana, verificar presença de outliers e simetria dos dados.
Aplicando checagens simples à mão (sem software):
- Ordenando os dados (peguei diretamente da lista do enunciado):
. - Mediana (média dos 3.º e 4.º valores):
. A média é muito próxima da mediana — sinal de simetria. - Não há observações isoladamente distantes (o menor é
e o maior é , diferença total ; nada explosivo). - Os desvios ao redor da média que calculamos no Passo 3 não mostram nenhum quadrado de desvio extremamente maior que os outros.
Interpretação prática desta checagem: com
não se pode provar normalidade, mas os dados não apresentam sinais claros de assimetria forte ou outliers; portanto a suposição de normalidade é razoável/plausível para fins de construir intervalo-t. Se você quiser ser rigoroso na prova, mencione que, com amostras tão pequenas, um teste formal (por ex. Shapiro–Wilk) ou um QQ-plot seria recomendado, mas a inspeção indica que assumir normalidade é aceitável.
Resposta concisa para (a): a suposição de normalidade é plausível com base na inspeção dos dados (média ≈ mediana, ausência de outliers).
Passo 5
Construção do intervalo de confiança de
para
(parte (b)).
Fórmula do intervalo-t (quando a variância populacional é desconhecida e supomos normalidade):
onde:
-
é a média amostral, -
é o desvio-padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição de Student com graus de liberdade, - para
de confiança, e .
Aqui
, então os graus de liberdade são
. Do quadro tabelado de
, temos
Calculando a margem de erro:
Compute passo a passo:
Portanto o intervalo é
ou seja
Arredondando de forma prática (duas casas decimais), podemos escrever
Explicação didática: o intervalo t leva em conta a incerteza tanto da média quanto da estimativa da variância (via
) e usa uma distribuição com caudas mais pesadas (t) porque
é pequeno; quanto maior a confiança (aqui
), maior o fator
e, portanto, maior o intervalo.
Passo 6
Interpretação prática e comentário final.
Interpretação do intervalo: podemos dizer que estamos
confiantes de que a verdadeira média
do percentual de ácido graxo poliinsaturado nos pacotes dessa marca está entre aproximadamente
e
. Em termos práticos: se repetíssemos muitos experimentos independentes do mesmo tipo, cerca de
dos intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média populacional.
Aviso prático: como a amostra é pequena (
), a conclusão depende da suposição de normalidade; nossa checagem indica que a suposição é plausível, mas se houver possibilidade de coletar mais dados ou de rodar um teste formal (Shapiro–Wilk) isso reduziria a incerteza sobre a normalidade.
Força aí — tá indo bem; com essa receita você resolve intervalos para médias em provas sem drama!
Resposta
(a) A suposição de normalidade é plausível (inspeção: média
mediana, sem outliers evidentes).
(b) IC para
(aproximadamente
).
(b)