A particular brand of diet margarine was analyzed to determine the level of polyunsaturated fatty acid (in percentages). A sample of six packages resulted in the following data: 16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1.
(a) Check the assumption that the level of polyunsaturated fatty acid is normally distributed.
(b) Calculate a 99 \% confidence interval on the mean \mu. Provide a practical interpretation of this interval.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) verificar a suposição de que o nível de ácido graxo poliinsaturado (em porcentagem) é normalmente distribuído;
(b) calcular um intervalo de confiança de 99\% para a média \mu e interpretar esse intervalo na prática.
Dados fornecidos (lista de seis observações): \;16,8,\;17,2,\;17,4,\;16,9,\;16,5,\;17,1.
Tamanho da amostra: \;n=6.

Passo 2

Calculando a média amostral passo a passo.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somando os valores (pego diretamente do enunciado):
\sum_{i=1}^{6} x_i = 16,8+17,2+17,4+16,9+16,5+17,1 = 101,9.
Logo
\bar{x}=\frac{101,9}{6}\approx 16,9833.
Explicação didática rápida: a média é simplesmente a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui cada pacote contribui com uma porcentagem, somamos tudo e dividimos por 6 para obter o valor médio observado.

Passo 3

Calculando a variância amostral e o desvio-padrão amostral (necessários para o intervalo).
Fórmula da variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Calculo dos desvios ao quadrado (usando \bar{x}\approx 16,9833):
(16,8-\bar{x})^2\approx 0,03361,
(17,2-\bar{x})^2\approx 0,04699,
(17,4-\bar{x})^2\approx 0,17361,
(16,9-\bar{x})^2\approx 0,00694,
(16,5-\bar{x})^2\approx 0,23361,
(17,1-\bar{x})^2\approx 0,01361.
Somando esses quadrados (valores obtidos a partir dos dados acima):
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 \approx 0,50839.
Dividindo por n-1=5:
s^2 \approx \frac{0,50839}{5} \approx 0,10168.
Desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{0,10168}\approx 0,3189 \approx 0,319.
Explicação didática: subtraímos a média de cada observação para ver o quanto cada uma se afasta da média, quadramos para evitar cancelamentos e sumarizamos; dividir por n-1 dá uma estimativa não viciada da variância populacional quando usamos a amostra.

Passo 4

Verificação da suposição de normalidade (parte (a)) — como fazer e aplicação aos dados.
Métodos que usaríamos:
  • Visual: QQ-plot (gráfico quantil–quantil) — ideais para ver se os pontos alinham-se numa reta.
  • Teste formal: Shapiro–Wilk (bom para amostras pequenas).
  • Inspeção descritiva: comparar média e mediana, verificar presença de outliers e simetria dos dados.
Aplicando checagens simples à mão (sem software):
  • Ordenando os dados (peguei diretamente da lista do enunciado): \;16,5,\;16,8,\;16,9,\;17,1,\;17,2,\;17,4.
  • Mediana (média dos 3.º e 4.º valores): \frac{16,9+17,1}{2}=17,0. A média \bar{x}\approx 16,9833 é muito próxima da mediana 17,0 — sinal de simetria.
  • Não há observações isoladamente distantes (o menor é 16,5 e o maior é 17,4, diferença total 0,9; nada explosivo).
  • Os desvios ao redor da média que calculamos no Passo 3 não mostram nenhum quadrado de desvio extremamente maior que os outros.
Interpretação prática desta checagem: com n=6 não se pode provar normalidade, mas os dados não apresentam sinais claros de assimetria forte ou outliers; portanto a suposição de normalidade é razoável/plausível para fins de construir intervalo-t. Se você quiser ser rigoroso na prova, mencione que, com amostras tão pequenas, um teste formal (por ex. Shapiro–Wilk) ou um QQ-plot seria recomendado, mas a inspeção indica que assumir normalidade é aceitável.
Resposta concisa para (a): a suposição de normalidade é plausível com base na inspeção dos dados (média ≈ mediana, ausência de outliers).

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 99\% para \mu (parte (b)).
Fórmula do intervalo-t (quando a variância populacional é desconhecida e supomos normalidade):
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade,
  • para 99\% de confiança, \alpha=0,01 e 1-\alpha/2=0,995.
Aqui n=6, então os graus de liberdade são n-1=5. Do quadro tabelado de t, temos
t_{0,995,\;5}\approx 4,032.
Calculando a margem de erro:
\text{ME}=t_{0,995,5}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 4,032\cdot\frac{0,3189}{\sqrt{6}}.
Compute passo a passo:
\sqrt{6}\approx 2,4495,
\frac{0,3189}{\sqrt{6}}\approx \frac{0,3189}{2,4495}\approx 0,1302,
\text{ME}\approx 4,032\cdot 0,1302\approx 0,525.
Portanto o intervalo é
\bar{x}\pm \text{ME}\approx 16,9833\pm 0,525,
ou seja
\text{IC}_{99\%} \approx (16,9833-0,525,\;16,9833+0,525) \approx (16,458,\;17,508).
Arredondando de forma prática (duas casas decimais), podemos escrever
\text{IC}_{99\%}\approx (16,46,\;17,51).
Explicação didática: o intervalo t leva em conta a incerteza tanto da média quanto da estimativa da variância (via s) e usa uma distribuição com caudas mais pesadas (t) porque n é pequeno; quanto maior a confiança (aqui 99\%), maior o fator t e, portanto, maior o intervalo.

Passo 6

Interpretação prática e comentário final.
Interpretação do intervalo: podemos dizer que estamos 99\% confiantes de que a verdadeira média \mu do percentual de ácido graxo poliinsaturado nos pacotes dessa marca está entre aproximadamente 16,46\% e 17,51\%. Em termos práticos: se repetíssemos muitos experimentos independentes do mesmo tipo, cerca de 99\% dos intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média populacional.
Aviso prático: como a amostra é pequena ( n=6), a conclusão depende da suposição de normalidade; nossa checagem indica que a suposição é plausível, mas se houver possibilidade de coletar mais dados ou de rodar um teste formal (Shapiro–Wilk) isso reduziria a incerteza sobre a normalidade.
Força aí — tá indo bem; com essa receita você resolve intervalos para médias em provas sem drama!

Resposta

(a) A suposição de normalidade é plausível (inspeção: média \approx mediana, sem outliers evidentes).
(b) 99\% IC para \mu:\;(16,458,\;17,508) (aproximadamente (16,46,\;17,51)).

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