\dagger A machine produces metal rods used in an automobile suspension system. A random sample of 15 rods is selected, and the diameter is measured. The resulting data (in millimeters) are as follows:
8.24 8.25 8.20 8.23 8.24
8.21 8.26 8.26 8.20 8.25
8.23 8.23 8.19 8.28 8.24
(a) Check the assumption of normality for rod diameter.
(b) Calculate a 95 \% two-sided confidence interval on mean rod diameter.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Verificar a suposição de normalidade para o diâmetro das hastes a partir da amostra aleatória de n=15 observações.
  2. (b) Calcular um intervalo de confiança de 95\%, bilateral, para a média do diâmetro.
Dados fornecidos (em milímetros):
8,24,\;8,25,\;8,20,\;8,23,\;8,24,\;8,21,\;8,26,\;8,26,\;8,20,\;8,25,\;8,23,\;8,23,\;8,19,\;8,28,\;8,24.
Essas são todas as informações necessárias; a amostra tem tamanho n=15 e o desvio-padrão populacional é desconhecido (logo usaremos o desvio-padrão amostral e a distribuição t para o IC).

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Vou somar todos os valores e dividir por n=15.
Soma das 15 observações (peguei diretamente do enunciado):
\sum x_i = 123,51.
Logo a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{123,51}{15}=8,234.
Interpretação prática: o valor médio observado da amostra é \bar{x}=8,234 mm.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro calculamos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = 0,00896.
A variância amostral (com grau de liberdade n-1) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{0,00896}{14}=0,00064.
Portanto o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{0,00064}=0,0253\\ (\text{mm, aproximadamente}).
Explicação didática: s mede a dispersão dos diâmetros em torno da média \bar{x}. Como s é pequeno (cerca de 0,025 mm), os valores estão bastante concentrados.

Passo 4

Como checar normalidade — teoria rápida e intuitiva.
  • A hipótese de normalidade significa que os valores individuais X_i vêm (aproximadamente) de uma distribuição Normal com média \mu e desvio padrão \sigma.
  • Métodos práticos para verificar normalidade:
    1. Gráfico de histograma e boxplot (procure assimetria ou outliers).
    2. Gráfico Q–Q (normal probability plot): pontos próximos da reta indicam normalidade.
    3. Testes formais (Shapiro–Wilk, Anderson–Darling) — para n=15 o Shapiro–Wilk é indicado, mas exige cálculo/computador.
    4. Verificar valores padronizados z_i=(x_i-\bar{x})/s: se houver muitos z_i com módulo maior que 2 ou 3, há suspeita de não-normalidade/outliers.
Vou usar a verificação por valores padronizados (fácil de fazer à mão) e observações visuais dos dados (faixa e simetria).

Passo 5

Calcular alguns valores padronizados para checar presença de outliers / assimetria. Usei \bar{x}=8,234 e s=0,0253.
Cálculo aproximado de z_i=(x_i-\bar{x})/s para os pontos extremos e alguns representativos:
\begin{aligned} x_{\min}=8,19 &\Rightarrow z\approx\frac{8,19-8,234}{0,0253}\approx-1,74,\\\ x_{\max}=8,28 &\Rightarrow z\approx\frac{8,28-8,234}{0,0253}\approx+1,82,\\\ \text{alguns valores centrais: }8,20 &\Rightarrow z\approx-1,34,\quad 8,26\Rightarrow z\approx+1,03,\quad 8,24\Rightarrow z\approx+0,24. \end{aligned}
Observação: todos os z_i calculados estão entre aproximadamente -1,8 e +1,8. Não há pontos com |z_i| acima de 2 ou 3, isto é, não aparecem outliers evidentes.

Passo 6

Interpretação prática da checagem de normalidade:
  • Com n=15 a amostra é pequena; testes formais seriam recomendados se tivéssemos software. Mas, à mão, verificar que os z_i mantêm-se dentro de \pm2 e que os dados variam pouco (de 8,19 a 8,28) indica que não há violação grave da suposição de normalidade.
  • Assim, é razoável assumir que a distribuição dos diâmetros é aproximadamente normal para fins de construir o intervalo de confiança da média com a t-distribuição.

Passo 7

Agora vamos construir o intervalo de confiança de 95\% para a média \mu quando \sigma é desconhecido.
Fórmula (teoria):
\text{IC}_{1-\alpha}:\quad \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde
  • \bar{x} é a média amostral,
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade,
  • para 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.

Passo 8

Determinar o quantil t_{0,025,14} (graus de liberdade n-1=14). Valor tabelado:
t_{0,025,14}\approx 2,145.
Calcular o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,0253}{\sqrt{15}}=\frac{0,0253}{3,873}\approx 0,006535.
Multiplicar pelo t-crítico para obter a margem de erro:
\text{margem}=2,145\times 0,006535\approx 0,01402.

Passo 9

Construir o intervalo:
\bar{x}\pm\text{margem}=8,234\pm 0,01402.
Logo os extremos do intervalo são
\text{limite inferior}=8,234-0,01402\approx 8,220,
\text{limite superior}=8,234+0,01402\approx 8,248.
Interpretação: com 95\% de confiança, a média verdadeira do diâmetro \mu está entre aproximadamente 8{,}220 mm e 8{,}248 mm.

Resposta

(a) A suposição de normalidade é plausível (não há evidência de desvios fortes ou outliers — os valores padronizados ficam entre aproximadamente -1{,}8 e +1{,}8).
(b) Intervalo de confiança de 95\% para a média: \;[8,220,\;8,248] mm.

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