A machine produces metal rods used in an automobile suspension system. A random sample of 15 rods is selected, and the diameter is measured. The resulting data (in millimeters) are as follows:
8.24
8.25
8.20
8.23
8.24
8.21
8.26
8.26
8.20
8.25
8.23
8.23
8.19
8.28
8.24
(a) Check the assumption of normality for rod diameter.
(b) Calculate a
two-sided confidence interval on mean rod diameter.
| 8.24 | 8.25 | 8.20 | 8.23 | 8.24 |
| 8.21 | 8.26 | 8.26 | 8.20 | 8.25 |
| 8.23 | 8.23 | 8.19 | 8.28 | 8.24 |
(b) Calculate a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Verificar a suposição de normalidade para o diâmetro das hastes a partir da amostra aleatória de
observações. - (b) Calcular um intervalo de confiança de
, bilateral, para a média do diâmetro.
Dados fornecidos (em milímetros):
Essas são todas as informações necessárias; a amostra tem tamanho
e o desvio-padrão populacional é desconhecido (logo usaremos o desvio-padrão amostral e a distribuição
para o IC).
Passo 2
Calcular a média amostral
. Vou somar todos os valores e dividir por
.
Soma das 15 observações (peguei diretamente do enunciado):
Logo a média amostral é
Interpretação prática: o valor médio observado da amostra é
mm.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral
. Primeiro calculamos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:
A variância amostral (com grau de liberdade
) é
Portanto o desvio-padrão amostral é
Explicação didática:
mede a dispersão dos diâmetros em torno da média
. Como
é pequeno (cerca de
mm), os valores estão bastante concentrados.
Passo 4
Como checar normalidade — teoria rápida e intuitiva.
- A hipótese de normalidade significa que os valores individuais
vêm (aproximadamente) de uma distribuição Normal com média e desvio padrão . - Métodos práticos para verificar normalidade:
- Gráfico de histograma e boxplot (procure assimetria ou outliers).
- Gráfico Q–Q (normal probability plot): pontos próximos da reta indicam normalidade.
- Testes formais (Shapiro–Wilk, Anderson–Darling) — para
o Shapiro–Wilk é indicado, mas exige cálculo/computador. - Verificar valores padronizados
: se houver muitos com módulo maior que ou , há suspeita de não-normalidade/outliers.
Vou usar a verificação por valores padronizados (fácil de fazer à mão) e observações visuais dos dados (faixa e simetria).
Passo 5
Calcular alguns valores padronizados para checar presença de outliers / assimetria. Usei
e
.
Cálculo aproximado de
para os pontos extremos e alguns representativos:
Observação: todos os
calculados estão entre aproximadamente
e
. Não há pontos com
acima de
ou
, isto é, não aparecem outliers evidentes.
Passo 6
Interpretação prática da checagem de normalidade:
- Com
a amostra é pequena; testes formais seriam recomendados se tivéssemos software. Mas, à mão, verificar que os mantêm-se dentro de e que os dados variam pouco (de a ) indica que não há violação grave da suposição de normalidade. - Assim, é razoável assumir que a distribuição dos diâmetros é aproximadamente normal para fins de construir o intervalo de confiança da média com a
-distribuição.
Passo 7
Agora vamos construir o intervalo de confiança de
para a média
quando
é desconhecido.
Fórmula (teoria):
Fórmula (teoria):
onde
-
é a média amostral, -
é o desvio-padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade, - para
temos e .
Passo 8
Determinar o quantil
(graus de liberdade
). Valor tabelado:
Calcular o erro padrão da média:
Multiplicar pelo
-crítico para obter a margem de erro:
Passo 9
Construir o intervalo:
Logo os extremos do intervalo são
Interpretação: com
de confiança, a média verdadeira do diâmetro
está entre aproximadamente
mm e
mm.
Resposta
(a) A suposição de normalidade é plausível (não há evidência de desvios fortes ou outliers — os valores padronizados ficam entre aproximadamente
e
).
(b) Intervalo de confiança de para a média:
mm.
(b) Intervalo de confiança de