Determine the \chi^{2} percentile that is required to construct each of the following CIs:
Confidence level =99 \%, degrees of freedom =9, one-sided (lower)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine qual percentil da distribuição \chi^2 é necessário para construir um intervalo de confiança (IC) com as seguintes informações:
  • Nível de confiança: 99\%.
  • Graus de liberdade: 9.
  • Tipo de IC: unilaterial, sendo “one-sided (lower)” — ou seja, queremos um limite inferior (apenas o limite inferior com confiança 99\%).
    As informações relevantes são, portanto, 1-\text{confiança}= \alphaç, os graus de liberdade \nu=9 e o sentido do IC (unilateral inferior).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) o pivô que usamos quando construímos ICs para a variância de uma população com amostra normalmente distribuída. Seja S^2 a variância amostral e \sigma^2 a variância populacional. Então
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{\nu},
onde \nu=n-1 é o grau de liberdade. Aqui eu não preciso do n numérico porque o problema já me deu \nu=9. Isso é útil porque a construção do IC reduz-se a escolher um quantil da \chi^2 adequado ao nível de confiança e ao tipo (unilateral ou bilateral).

Passo 3

Interpretando o pedido “one-sided (lower)” com nível de confiança 99\%: queremos um limite inferior L tal que
P(\sigma^2 \ge L) = 0{,}99.
Usamos o pivô para transformar essa probabilidade numa desigualdade envolvendo a \chi^2. Se L for construído como
L = \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{p,\nu}},
então
P(\sigma^2 \ge L) = P\!\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{p,\nu}\right) = F_{\chi^2_\nu}(\chi^2_{p,\nu}) = p,
onde F_{\chi^2_\nu} é a função de distribuição acumulada da \chi^2 com \nu graus de liberdade. Para que essa probabilidade seja 0{,}99, precisamos escolher p=0{,}99. Ou seja, o percentil requerido é o quantil de ordem 0{,}99 da \chi^2 com \nu=9.

Passo 4

Calculemos explicitamente o nível de significância \alpha. Como o nível de confiança é 99\%,
\alpha = 1 - 0{,}99 = 0{,}01.
Para um IC unilateral inferior com confiança 1-\alpha tomamos o quantil de probabilidade 1-\alpha da \chi^2. Logo o percentil pedido é
\chi^2_{1-\alpha,\nu} = \chi^2_{0{,}99,\,9}.

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico desse quantil \chi^2_{0{,}99,\,9}. Esse valor é obtido em tabela da \chi^2 ou por calculadora estatística; consultando uma tabela padrão obtemos o valor aproximado correspondente ao percentil 0{,}99 com 9 graus de liberdade.

Passo 6

Resumo: o percentil pedido é o quantil de ordem 0{,}99 da \chi^2 com 9 graus de liberdade, que denotamos \chi^2_{0{,}99,\,9}. A seguir dou o valor numérico exato aproximado conforme tabelas.

Resposta

\chi^2_{0{,}99,\,9}=21{,}666

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