Determine the
percentile that is required to construct each of the following CIs:
Confidence level
, degrees of freedom
, one-sided (lower)
Confidence level
Passo 1
O enunciado pede que eu determine qual percentil da distribuição
é necessário para construir um intervalo de confiança (IC) com as seguintes informações:
- Nível de confiança:
. - Graus de liberdade:
. - Tipo de IC: unilaterial, sendo “one-sided (lower)” — ou seja, queremos um limite inferior (apenas o limite inferior com confiança
).
As informações relevantes são, portanto,, os graus de liberdade e o sentido do IC (unilateral inferior).
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática) o pivô que usamos quando construímos ICs para a variância de uma população com amostra normalmente distribuída. Seja
a variância amostral e
a variância populacional. Então
onde
é o grau de liberdade. Aqui eu não preciso do
numérico porque o problema já me deu
. Isso é útil porque a construção do IC reduz-se a escolher um quantil da
adequado ao nível de confiança e ao tipo (unilateral ou bilateral).
Passo 3
Interpretando o pedido “one-sided (lower)” com nível de confiança
: queremos um limite inferior
tal que
Usamos o pivô para transformar essa probabilidade numa desigualdade envolvendo a
. Se
for construído como
então
onde
é a função de distribuição acumulada da
com
graus de liberdade. Para que essa probabilidade seja
, precisamos escolher
. Ou seja, o percentil requerido é o quantil de ordem
da
com
.
Passo 4
Calculemos explicitamente o nível de significância
. Como o nível de confiança é
,
Para um IC unilateral inferior com confiança
tomamos o quantil de probabilidade
da
. Logo o percentil pedido é
Passo 5
Agora precisamos do valor numérico desse quantil
. Esse valor é obtido em tabela da
ou por calculadora estatística; consultando uma tabela padrão obtemos o valor aproximado correspondente ao percentil
com
graus de liberdade.
Passo 6
Resumo: o percentil pedido é o quantil de ordem
da
com
graus de liberdade, que denotamos
. A seguir dou o valor numérico exato aproximado conforme tabelas.