\dagger A rivet is to be inserted into a hole. A random sample of n=15 parts is selected, and the hole diameter is measured. The sample standard deviation of the hole diameter measurements is s=0.008 millimeters. Construct a 99 \% lower confidence bound for \sigma^{2}.

Passo 1

O enunciado pede um limite inferior de confiança de 99\% para \sigma^{2}. As informações dadas são:
n=15
s=0{,}008\\ \text{mm}
s^{2}=(0{,}008)^{2}=0{,}000064\\ \text{mm}^{2}
Queremos encontrar um valor L tal que, com nível de confiança 99\%, possamos afirmar que \sigma^{2}\ge L.

Passo 2

Vamos construir o limite inferior usando a estatística-pivô conhecida para variância de uma amostra normal. A estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
tem distribuição qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade. Vou explicar isso com calma: S^{2} é a variância amostral (aqui usamos s^{2} como valor observado). A razão (n-1)S^{2}/\sigma^{2} é uma combinação das observações cuja distribuição não depende de \sigma^{2} — ela depende apenas do desvio padrão amostral relativo à verdadeira variância. Essa distribuição é a \chi^{2} com \nu graus de liberdade, e usamos quantis dessa distribuição para construir intervalos de confiança.

Passo 3

Para um limite inferior unilaterial de nível 100(1-\alpha)\% (aqui 1-\alpha=0{,}99, então \alpha=0{,}01), precisamos de L tal que
P\big(\sigma^{2}\ge L\big)=0{,}99.
Usando a pivot, manipulamos a desigualdade para obter o L em função de um quantil da \chi^{2}. A derivação é:
P\big(\sigma^{2}\ge L\big)=P\!\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\le\frac{(n-1)S^{2}}{L}\right).
Queremos que a probabilidade acima seja 0{,}99, então escolhemos o ponto tal que
\frac{(n-1)S^{2}}{L}=\chi^{2}_{1-\alpha,\\ \nu},
onde \chi^{2}_{1-\alpha,\\ \nu} é o quantil da \chi^{2} com \nu graus de liberdade e probabilidade acumulada 1-\alpha. Isolando L obtemos a fórmula do limite inferior:
L=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha,\\ \nu}}.

Passo 4

Agora substituímos os números. Temos \nu=n-1=14 e (n-1)s^{2}=14\cdot 0{,}000064=0{,}000896. Precisamos do quantil \chi^{2}_{0{,}99,\\\ 14}. Consultando uma tabela de qui-quadrado (ou uma calculadora estatística) obtemos
\chi^{2}_{0{,}99,\\\ 14}=29{,}141.
(Estou usando o valor da tabela para o quantil de 99\% com 14 graus de liberdade.)

Passo 5

Dividimos para obter o limite inferior:
L=\frac{0{,}000896}{29{,}141}\approx 0{,}0000308\\ \text{mm}^{2}.
Em notação científica isso é aproximadamente
L\approx 3{,}08\times 10^{-5}\\ \text{mm}^{2}.

Passo 6

Interpretação final (curtinha e motivadora): com nível de confiança de 99\% podemos afirmar que a verdadeira variância da medida do furo satisfaz \sigma^{2}\ge L, onde L é o valor calculado acima. Isso é útil na prova — basta lembrar da pivot (n-1)S^{2}/\sigma^{2}\sim\chi^{2}_{n-1} e da fórmula geral para limites unilaterais.

Resposta

\displaystyle \sigma^{2}\ge 3{,}08\times 10^{-5}\\ \text{mm}^{2}

Exercícios relacionados