A rivet is to be inserted into a hole. A random sample of
parts is selected, and the hole diameter is measured. The sample standard deviation of the hole diameter measurements is
millimeters. Construct a
lower confidence bound for
.
Passo 1
O enunciado pede um limite inferior de confiança de
para
. As informações dadas são:
Queremos encontrar um valor
tal que, com nível de confiança
, possamos afirmar que
.
Passo 2
Vamos construir o limite inferior usando a estatística-pivô conhecida para variância de uma amostra normal. A estatística
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Vou explicar isso com calma:
é a variância amostral (aqui usamos
como valor observado). A razão
é uma combinação das observações cuja distribuição não depende de
— ela depende apenas do desvio padrão amostral relativo à verdadeira variância. Essa distribuição é a
com
graus de liberdade, e usamos quantis dessa distribuição para construir intervalos de confiança.
Passo 3
Para um limite inferior unilaterial de nível
(aqui
, então
), precisamos de
tal que
Usando a pivot, manipulamos a desigualdade para obter o
em função de um quantil da
. A derivação é:
Queremos que a probabilidade acima seja
, então escolhemos o ponto tal que
onde
é o quantil da
com
graus de liberdade e probabilidade acumulada
. Isolando
obtemos a fórmula do limite inferior:
Passo 4
Agora substituímos os números. Temos
e
. Precisamos do quantil
. Consultando uma tabela de qui-quadrado (ou uma calculadora estatística) obtemos
(Estou usando o valor da tabela para o quantil de
com
graus de liberdade.)
Passo 5
Dividimos para obter o limite inferior:
Em notação científica isso é aproximadamente
Passo 6
Interpretação final (curtinha e motivadora): com nível de confiança de
podemos afirmar que a verdadeira variância da medida do furo satisfaz
, onde
é o valor calculado acima. Isso é útil na prova — basta lembrar da pivot
e da fórmula geral para limites unilaterais.