- Partículas sólidas possuindo diâmetro de
, esfericidade de 0,86 e densidade de
irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e
. A porosidade mínima de fluidização é 0,43 . O diâmetro do leito é de
e contém 350 kg de sólidos. Com essas informações encontre:
a. A altura mínima de fluidização. (R.
)
b. Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. (R. 12120Pa)
c. Encontre a velocidade mínima de fluidização. (R.
)
d. Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito. (R. 0,605 )
a. A altura mínima de fluidização. (R.
b. Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. (R. 12120Pa)
c. Encontre a velocidade mínima de fluidização. (R.
d. Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito. (R. 0,605 )
Passo 1
O enunciado dá um leito cilíndrico com partículas sólidas e pede quatro grandezas. Vou listar tudo que foi dado e o que precisamos encontrar, bem mastigado:
-
Dados das partículas:
-
Dados do fluido (ar) nas condições informadas:
-
Geometria e massa de sólidos:
-
Porosidade mínima (no início da fluidização):
-
Constante gravitacional usada:
Perguntas:
a. Calcular a altura mínima de fluidização .
b. Calcular a queda de pressão (ΔP) nas condições de fluidização mínima.
c. Calcular a velocidade mínima de fluidização .
d. Com , estimar a porosidade do leito
nessa velocidade.
a. Calcular a altura mínima de fluidização
b. Calcular a queda de pressão (ΔP) nas condições de fluidização mínima.
c. Calcular a velocidade mínima de fluidização
d. Com
Observação: os itens (c) e (d) exigem uso da equação de Ergun adaptada para partículas não esféricas. Vou explicar isso passo a passo quando for necessário.
Passo 2
Cálculo da área do leito e do volume ocupado pelas partículas — preparando
.
- Área da seção transversal do leito (cilindro):
Calculando numericamente:
- Volume total de sólidos (volume físico das partículas):
- Relação entre volume do leito
, porosidade , volume de sólidos e altura :
Agora aplicamos
para achar
.
Passo 3
Cálculo da altura mínima de fluidização
(resolvendo o item a), com todas as contas detalhadas).
Usando a fórmula do passo anterior:
Substituindo números:
Calcule passo a passo:
Comentário amigável: isso significa que, com a porosidade mínima dada, os 350 kg de sólidos formam um leito de cerca de
de altura antes da fluidização plena.
Passo 4
Cálculo da queda de pressão
na condição de fluidização mínima (item b). Teoria e aplicação.
Teoria curta e didática: Na condição de incipiente fluidização a pressão diferencial através do leito equilibra o peso aparente das partículas (peso menos força de empuxo sobre as partículas). A expressão padrão é:
Explicando cada termo:
-
é a fração de volume ocupada por sólido por unidade de altura. -
é a densidade efetiva (diferença entre densidade do sólido e do fluido), que aparece por causa do empuxo. - Multiplicar por
dá força por volume, e então multiplicando por volume por área resulta em pressão.
Agora aplicamos os números:
Calcule por partes:
Arredondando de forma compatível com a resposta fornecida:
Breve comentário de incentivo: ótimo, já temos (a) e (b) — estamos indo bem!
Passo 5
Cálculo da velocidade mínima de fluidização
(item c). Apresentação da equação de Ergun e correção pela esfericidade.
Teoria necessária (explicada devagar):
- A equação de Ergun descreve a perda de carga por unidade de comprimento (
) em um leito de partículas, combinando efeito viscoso (termo linear em ) e inercial (termo quadrático em ):
- Para partículas não perfeitamente esféricas usamos correções por esfericidade
: a literatura comum aplica um fator no termo viscoso e no termo inercial (isso corrige a área específica e resistência hidráulica das partículas não-esféricas). Assim a forma usada aqui é:
- No ponto de incipiente fluidização (mínima) vale a igualdade:
pois
deve igualar o peso aparente por unidade de volume do leito.
Substituindo
,
,
,
,
e os valores numéricos conhecidos, obtemos uma equação quadrática do tipo
que resolveremos para
.
Agora vamos montar os coeficientes com cuidado (passo a passo numérico).
Passo 6
Montagem numérica da equação para
e resolução (continuação do item c).
Primeiro calculemos alguns termos auxiliares com
:
Coeficiente do termo viscoso (linear em
):
Substituindo:
Logo
Coeficiente do termo inercial (quadrático em
):
Substituindo:
Logo
Lado direito (pressão por unidade de comprimento) a ser igualado:
Equação final:
ou numericamente
Resolvendo a quadrática (
):
Agora inserir os valores e calcular a raiz positiva:
- Calculando o discriminante e a raiz, obtemos numericamente
Observação didática: o termo linear (viscoso) domina para partículas pequenas; a correção pela esfericidade
é importante para que o resultado caia na faixa correta. Sem essa correção o valor ficaria diferente do esperado.
Passo 7
Cálculo da porosidade do leito para
(item d). Método e resolução por tentativa (bisseção/iteração simples).
Ideia: para qualquer estado de leito com mesma massa de partículas, a queda de pressão total
sobre o leito permanece a mesma (é a força que suporta o peso aparente das partículas). Portanto, para uma nova porosidade
e velocidade
temos a igualdade entre a perda de carga por unidade de comprimento dada por Ergun (com correção de esfericidade) e o peso aparente por unidade de volume:
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar e obter uma equação somente em
. Para o caso pedido utilizamos
. Vou usar o valor encontrado
, logo
Montagem numérica (passo a passo) para essa velocidade:
- Calcule constantes dependentes de
:
Com
obtemos (valores já calculados no processo):
A equação rearranjada (dividida por
) fica:
Multiplicando por
:
Numérica:
Ou
Agora resolvemos por tentativa/interpolação simples (método didático):
- Teste
: resulta em valor negativo (esquerda < 0). - Teste
: resulta em valor positivo pequeno (esquerda > 0).
Fazendo uma interpolação entre esses dois valores encontra-se
Comentário: a porosidade aumenta com a velocidade (leito se expande). O procedimento acima é uma maneira simples e robusta de achar
quando a equação é não-linear — em prova, uma bisseção ou uma interpolação rápida entre duas tentativas costuma funcionar bem para 2–3 casas decimais.
Resposta
a.
b.
c.
d.