1. Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12 \mathrm{~mm}, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1,84.10^{-5} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} ; \rho=2,37 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right). A porosidade mínima de fluidização é 0,42 . Com essas informações encontre:
    a. A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30 \mathrm{~m}^{2} e que o leito contém 300 kg de sólidos. (R. 1,72 \mathrm{~m} )
    b. Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. (R. 9753Pa)
    c. Encontre a velocidade mínima de fluidização. (R. 0,00504 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )

Passo 1

O enunciado pede três quantidades relacionadas ao leito de partículas em condição de fluidização mínima. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Massa de sólidos: m_s = 300\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro das partículas: d_p = 0{,}12\\ \mathrm{mm} = 0{,}00012\\ \mathrm{m}.
  • Esfericidade: \varphi = 0{,}88.
  • Densidade das partículas: \rho_s = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Gás (ar) nas condições dadas: viscosidade \mu = 1{,}84\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e densidade \rho_f = 2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Pressão do gás: 2\\ \mathrm{atm} (isto já foi usada para determinar \rho_f, que foi fornecida).
  • Porosidade mínima de fluidização: \epsilon_{mf} = 0{,}42.
  • Área da seção transversal do leito (leito vazio): A = 0{,}30\\ \mathrm{m^2}.
  • Aceleração da gravidade (usarei): g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
a) Encontrar a altura mínima de fluidização H_{mf} do leito que contém 300\\ \mathrm{kg} de sólidos e tem área A.
b) Encontrar a queda de pressão através do leito na condição de fluidização mínima, \Delta P_{mf}.
c) Encontrar a velocidade superficial mínima de fluidização U_{mf} (velocidade do ar, superficial).

Passo 2

Cálculo da altura mínima de fluidização H_{mf}.
Conceito: a porosidade \epsilon diz a fração do volume do leito ocupado pelo fluido. O volume total do leito com os sólidos é
V_{\text{leito}} = \frac{m_s}{\rho_s (1-\epsilon_{mf})},
porque m_s = \rho_s \cdot (\text{volume sólido})ó e (1-\epsilon_{mf}) é a fração volumétrica de sólidos no leito. A altura do leito é então
H_{mf} = \frac{V_{\text{leito}}}{A}.
Aplicando os números:
V_{\text{leito}} = \frac{300}{1000\cdot(1-0{,}42)} = \frac{300}{1000\cdot 0{,}58} = \frac{300}{580} = 0{,}5172413793\\ \mathrm{m^3}.
H_{mf} = \frac{0{,}5172413793}{0{,}30} = 1{,}724137931\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova:
H_{mf} \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo da queda de pressão na condição de fluidização mínima \Delta P_{mf}.
Conceito físico e fórmula: no ponto de fluidização mínima a força ascendente do fluxo (pressão) equilibra o peso aparente das partículas. A expressão usual (levando em conta o empuxo do fluido) para o gradiente de pressão é
\left(\frac{\Delta P}{H}\right)_{mf} = (1-\epsilon_{mf})\,(\rho_s-\rho_f)\,g.
Integrando sobre a altura H_{mf} obtemos
\Delta P_{mf} = (1-\epsilon_{mf})\,(\rho_s-\rho_f)\,g\,H_{mf}.
Aqui:
  • (1-\epsilon_{mf}) = fração de volume ocupada por sólidos,
  • (\rho_s-\rho_f) = densidade aparente efetiva (subtraindo densidade do fluido, que dá o empuxo),
  • g = gravidade,
  • H_{mf} = altura do leito (calculada no passo anterior).
Cálculo numérico:
(1-\epsilon_{mf}) = 0{,}58,
\rho_s-\rho_f = 1000 - 2{,}37 = 997{,}63\\ \mathrm{kg/m^3},
\Delta P_{mf} = 0{,}58 \cdot 997{,}63 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}724137931.
Faço em etapas:
(1-\epsilon_{mf})(\rho_s-\rho_f) = 0{,}58\cdot 997{,}63 = 578{,}6254\\ \mathrm{kg/m^3},
\left(\frac{\Delta P}{H}\right)_{mf} = 578{,}6254\cdot 9{,}81 = 5\,676{,}3152\\ \mathrm{Pa/m},
\Delta P_{mf} = 5\,676{,}3152 \cdot 1{,}724137931 = 9\,793{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando:
\Delta P_{mf} \approx 9{,}79\times 10^3\\ \mathrm{Pa} \approx 9\,791\\ \mathrm{Pa}.
(Nota: diferenças pequenas com valores tabelados podem vir de arredondamentos intermediários ou de usar g ligeiramente diferente — o valor está na mesma ordem e muito próximo do valor de referência fornecido.)

Passo 4

Cálculo da velocidade mínima de fluidização U_{mf} usando a equação de Ergun (abordagem padrão na prova).
A equação de Ergun (para leito fixo de partículas aproximadamente esféricas) relaciona o gradiente de pressão com a velocidade superficial U:
\frac{\Delta P}{L} = \frac{150\,(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\,\frac{\mu}{d_p^2}\,U \;+\; \frac{1{,}75\,(1-\epsilon)}{\epsilon^3}\,\frac{\rho_f}{d_p}\,U^2.
No ponto de fluidização mínima substituímos \Delta P/L por (1-\epsilon)(\rho_s-\rho_f)g e L=H_{mf}. Assim obtemos uma equação na forma
a\,U + b\,U^2 = C,
onde
a = \frac{150\,(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\,\frac{\mu}{d_{eq}^2}, \quad b = \frac{1{,}75\,(1-\epsilon)}{\epsilon^3}\,\frac{\rho_f}{d_{eq}}, \quad C = (1-\epsilon)(\rho_s-\rho_f)g.
Importante sobre esfericidade: para partículas não perfeitamente esféricas usamos um diâmetro efetivo d_{eq} dado por
d_{eq} = \varphi\,d_p,
onde \varphi é a esfericidade. Isso corrige a área superficial específica das partículas. Aqui
d_{eq} = 0{,}88 \cdot 0{,}00012\\ \mathrm{m} = 0{,}0001056\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos a, b e C numericamente (usando \epsilon=\epsilon_{mf}=0{,}42):
Calculemos constantes intermediárias:
(1-\epsilon)^2 = 0{,}58^2 = 0{,}3364, \quad \epsilon^3 = 0{,}42^3 = 0{,}074088.
Termo a:
a = \frac{150\cdot 0{,}3364}{0{,}074088}\cdot\frac{1{,}84\cdot 10^{-5}}{(1{,}056\cdot 10^{-4})^2}.
Calculando:
(1{,}056\cdot 10^{-4})^2 = 1{,}115136\cdot 10^{-8},
\frac{150\cdot 0{,}3364}{0{,}074088} \approx 681{,}16,
a \approx 681{,}16 \cdot \frac{1{,}84\cdot 10^{-5}}{1{,}115136\cdot 10^{-8}} \approx 1{,}124\times 10^{6}\\ \mathrm{s/m^2}.
Termo b:
b = \frac{1{,}75\cdot 0{,}58}{0{,}074088}\cdot\frac{2{,}37}{1{,}056\cdot 10^{-4}} \approx 307{,}4\times 10^{3}\\ \mathrm{s/m}.
Termo C (já calculado parcialmente no passo 3 como (\Delta P/L)_{mf}):
C = (1-\epsilon)(\rho_s-\rho_f)g \approx 5{,}676{,}3152\\ \mathrm{Pa/m}.
Então resolvemos a equação quadrática
b U^2 + a U - C = 0.
A solução positiva é
U = \frac{-a + \sqrt{a^2 + 4 b C}}{2b}.
Substituindo os valores (usando os números aproximados acima):
a \approx 1{,}124\times 10^{6},\quad b \approx 3{,}074\times 10^{5},\quad C \approx 5{,}676{,}3.
Cálculo do discriminante aproximado:
\sqrt{a^2 + 4 b C} \approx a + \frac{4 b C}{2a} \\ \text{(expansão para facilitar cálculo)} \approx a + 3{,}103.ãá
Portanto
U \approx \frac{3{,}103}{2\cdot 3{,}074\times 10^{5}} \approx 5{,}046\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
U_{mf} \approx 0{,}00504\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

H_{mf} \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf} \approx 9{,}79\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}
U_{mf} \approx 0{,}00504\\ \mathrm{m/s}

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