Uma pessoa quer comprar um vaso em formato de cilindro para plantar uma muda de árvore. Devido ao tamanho da planta, será necessário utilizar 20 L de terra e, além disso, reservar 15 cm de altura do fundo do vaso para drenagem. A pessoa comprará o vaso que tiver o volume mais próximo do necessário para plantar a muda.
Qual o volume, em litros, mais próximo do necessário para plantar a muda?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O vaso é um cilindro.
  • Será necessário usar \,20\\ \text{L}\, de terra.
  • Deve-se reservar \,15\\ \text{cm}\, de altura no fundo do vaso para drenagem (essa altura permanecerá sem terra).
    O que se pede:
  • Determinar o volume (em litros) do vaso que seja o mais próximo do necessário para plantar a muda — ou seja, o volume total interno do cilindro que comporta os \,20\\ \text{L}\, de terra deixando \,15\\ \text{cm}\, livres.

Passo 2

Fórmulas e unidades úteis (aula rápida e prática):
  • Volume de um cilindro: V=\pi r^{2}h, onde \,r\, é o raio da base (em cm, por exemplo) e \,h\, é a altura do cilindro (em cm).
  • Conversão de unidades: 1\\ \text{L}=1000\\ \text{cm}^{3}.
  • Aqui: o volume de terra que precisa caber é \,20\\ \text{L}=20000\\ \text{cm}^{3}. A altura de drenagem é \,h_{\text{dreno}}=15\\ \text{cm}.

Passo 3

Modelagem do problema (passo a passo didático):
  • Seja \,r\, o raio interno do vaso (cm) e \,H\, a altura interna total do vaso (cm).
  • A altura ocupada por terra será \,h_{\text{terra}}=H-h_{\text{dreno}}=H-15\\ \text{cm}.
  • O volume de terra é dado por V_{\text{terra}}=\pi r^{2} h_{\text{terra}}.
  • Como sabemos que \,V_{\text{terra}}=20000\\ \text{cm}^{3}, temos a equação que relaciona r e H: 20000=\pi r^{2}(H-15).
  • O volume total interno do vaso (o que aparece nas especificações, em litros) é V_{\text{vaso}}=\pi r^{2}H=V_{\text{terra}}+\pi r^{2}\cdot 15.
Observe que a quantidade extra além dos \,20\\ \text{L}\, depende de \pi r^{2}, ou seja, do tamanho da base.

Passo 4

Por que não dá para calcular um único número sem informação adicional:
  • As duas fórmulas acima mostram que o volume total V_{\text{vaso}} depende do raio r (ou do diâmetro/área da base) do vaso. Sem saber r (ou sem uma lista de volumes disponíveis entre os quais escolher), não há um único valor numérico para V_{\text{vaso}}.
  • Para ilustrar como o resultado varia, dois exemplos numéricos (mostrando o procedimento que deve ser feito na prova se o raio ou o diâmetro forem dados):
    • Exemplo 1: supondo r=10\\ \text{cm} (diâmetro 20\\ \text{cm}).
      • Área da base: \pi r^{2}=\pi\cdot 10^{2}=100\pi\\ \text{cm}^{2}.
      • Volume de drenagem: 100\pi\cdot 15=1500\pi\\ \text{cm}^{3}\approx 4712\\ \text{cm}^{3}.
      • Volume total do vaso: 20000+1500\pi\approx 24712\\ \text{cm}^{3}\approx 24{,}712\\ \text{L}.
    • Exemplo 2: supondo r=15\\ \text{cm} (diâmetro 30\\ \text{cm}).
      • Área da base: \pi\cdot 15^{2}=225\pi\\ \text{cm}^{2}.
      • Volume de drenagem: 225\pi\cdot 15=3375\pi\\ \text{cm}^{3}\approx 10603\\ \text{cm}^{3}.
      • Volume total do vaso: 20000+3375\pi\approx 30603\\ \text{cm}^{3}\approx 30{,}603\\ \text{L}.
  • Esses exemplos mostram que, dependendo do raio, o volume do vaso mais próximo do necessário muda bastante (por volta de \,25\\ \text{L} no primeiro exemplo e \,31\\ \text{L} no segundo).

Passo 5

Conclusão prática e o que falta:
  • Para escolher o vaso cujo volume seja “o mais próximo do necessário” é preciso conhecer pelo menos UMA destas informações:
    • o raio (ou diâmetro) interno do vaso que se pretende comprar; ou
    • a altura total interna H do vaso e o raio; ou
    • a lista de volumes (em litros) dos vasos disponíveis entre os quais a pessoa vai escolher.
  • Sem qualquer uma dessas informações não é possível fornecer um único valor numérico de volume em litros que seja a resposta correta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente: falta informar o raio/diâmetro (ou a lista de volumes disponíveis) do vaso, informação necessária para calcular o volume total.

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