Uma pessoa quer comprar um vaso em formato de cilindro para plantar uma muda de árvore. Devido ao tamanho da planta, será necessário utilizar 20 L de terra e, além disso, reservar 15 cm de altura do fundo do vaso para drenagem. A pessoa comprará o vaso que tiver o volume mais próximo do necessário para plantar a muda.
Qual o volume, em litros, mais próximo do necessário para plantar a muda?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O vaso é um cilindro.
- Será necessário usar
de terra. - Deve-se reservar
de altura no fundo do vaso para drenagem (essa altura permanecerá sem terra).
O que se pede: - Determinar o volume (em litros) do vaso que seja o mais próximo do necessário para plantar a muda — ou seja, o volume total interno do cilindro que comporta os
de terra deixando livres.
Passo 2
Fórmulas e unidades úteis (aula rápida e prática):
- Volume de um cilindro:
onde é o raio da base (em cm, por exemplo) e é a altura do cilindro (em cm). - Conversão de unidades:
- Aqui: o volume de terra que precisa caber é
. A altura de drenagem é .
Passo 3
Modelagem do problema (passo a passo didático):
- Seja
o raio interno do vaso (cm) e a altura interna total do vaso (cm). - A altura ocupada por terra será
- O volume de terra é dado por
- Como sabemos que
, temos a equação que relaciona e : - O volume total interno do vaso (o que aparece nas especificações, em litros) é
Observe que a quantidade extra além dos
depende de
, ou seja, do tamanho da base.
Passo 4
Por que não dá para calcular um único número sem informação adicional:
- As duas fórmulas acima mostram que o volume total
depende do raio (ou do diâmetro/área da base) do vaso. Sem saber (ou sem uma lista de volumes disponíveis entre os quais escolher), não há um único valor numérico para . - Para ilustrar como o resultado varia, dois exemplos numéricos (mostrando o procedimento que deve ser feito na prova se o raio ou o diâmetro forem dados):
- Exemplo 1: supondo
(diâmetro ). - Área da base:
- Volume de drenagem:
. - Volume total do vaso:
- Área da base:
- Exemplo 2: supondo
(diâmetro ). - Área da base:
- Volume de drenagem:
. - Volume total do vaso:
- Área da base:
- Exemplo 1: supondo
- Esses exemplos mostram que, dependendo do raio, o volume do vaso mais próximo do necessário muda bastante (por volta de
no primeiro exemplo e no segundo).
Passo 5
Conclusão prática e o que falta:
- Para escolher o vaso cujo volume seja “o mais próximo do necessário” é preciso conhecer pelo menos UMA destas informações:
- o raio (ou diâmetro) interno do vaso que se pretende comprar; ou
- a altura total interna
do vaso e o raio; ou - a lista de volumes (em litros) dos vasos disponíveis entre os quais a pessoa vai escolher.
- Sem qualquer uma dessas informações não é possível fornecer um único valor numérico de volume em litros que seja a resposta correta.
Resposta
Não é possível determinar numericamente: falta informar o raio/diâmetro (ou a lista de volumes disponíveis) do vaso, informação necessária para calcular o volume total.