Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com
e
elementos do corpo:
Lei do cancelamento para adição: Se
, então
. (Dica: adicione o oposto de
aos dois lados da igualdade).
Lei do cancelamento para adição: Se
Passo 1
Resumindo, queremos provar a lei do cancelamento para adição em um corpo: dado que
, mostrar que
. O que vamos usar dos axiomas de corpo é: (i) existência de inverso aditivo, i.e., para cada
existe
tal que
; (ii) associatividade e (iii) elemento neutro
para a adição, i.e.,
.
Passo 2
Partimos da hipótese
Para “cancelar” o
em ambos os lados, somamos o inverso aditivo de
, isto é
, em cada membro da igualdade:
Passo 3
Pela associatividade da soma, podemos agrupar:
Mas
por definição de inverso aditivo, então
Passo 4
Finalmente, usando que
é o elemento neutro da adição, temos
e
. Substituindo na igualdade anterior, obtém-se
Resposta
Portanto, a partir de
concluímos que
, o que estabelece a lei do cancelamento para adição em um corpo.