Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com a, b e c elementos do corpo:
Lei do cancelamento para adição: Se a+b=a+c, então b=c. (Dica: adicione o oposto de a aos dois lados da igualdade).

Passo 1

Resumindo, queremos provar a lei do cancelamento para adição em um corpo: dado que ;a+b=a+c, mostrar que ;b=c. O que vamos usar dos axiomas de corpo é: (i) existência de inverso aditivo, i.e., para cada x existe -x tal que x+(-x)=0; (ii) associatividade e (iii) elemento neutro 0 para a adição, i.e., 0+x=x.

Passo 2

Partimos da hipótese
a + b ;=; a + c
Para “cancelar” o a em ambos os lados, somamos o inverso aditivo de a, isto é -a, em cada membro da igualdade:
(-a) + (a + b) ;=; (-a) + (a + c)

Passo 3

Pela associatividade da soma, podemos agrupar:
l((-a) + ar) + b ;=; l((-a) + ar) + c
Mas (-a)+a=0 por definição de inverso aditivo, então
0 + b ;=; 0 + c

Passo 4

Finalmente, usando que 0 é o elemento neutro da adição, temos 0+b=b e 0+c=c. Substituindo na igualdade anterior, obtém-se
b = c

Resposta

Portanto, a partir de ;a+b=a+c concluímos que ;b=c, o que estabelece a lei do cancelamento para adição em um corpo.

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