Sejam
& [A]=[ll 0 & 1 0 & 2 0 & 1 ] & [B]=[ccc 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 ]
Encontre os seguintes subespaços e determine bases para eles:
(a) ker(A)
(b) Im(A)
(c) ker(B)
(d) Im(B)
(e) ker(B circ A)
(f) Im(B circ A)
Verifique que dim(Im(T))= posto de [T] e dim(ker(T))= nulidade de [T] nesses casos. NOTA: O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas da sua forma escalonada. A nulidade de uma matriz (pelo teorema núcleo-imagem) é o número de colunas dessa matriz menos seu posto.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=0&10&20&1, B=0&0&01&2&1-1&0&0,
onde A:Bbb R^2toBbb R^3 e B:Bbb R^3toBbb R^3. Vamos usar que
  1. ker(T)=vmid T(v)=0, achando as equações lineares correspondentes;
  2. Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de [T];
  3. Teorema posto–nulidade: dimker(T)+dimIm(T)= número de colunas de [T].

Passo 2

Para , as colunas são
e .
Logo
pois . Para resolvemos
Portanto

Passo 3

Para
Para resolver
portanto . Logo

Passo 4

Na composição , temos
Logo
e , ou seja

Passo 5

Verificamos o posto e a nulidade de cada matriz:
  • [A] tem posto 1 (1 coluna não nula) e nulidade 2-1=1.
  • [B] tem posto 2 (2 colunas independentes) e nulidade 3-2=1.
  • [Bcirc A] tem posto 1 e nulidade 2-1=1.
    Isto confirma que dimIm=T=posto e dimker=T=nulidade.

Resposta

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)

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