Encontre os seguintes subespaços e determine bases para eles:
(a) ker(A)
(b) Im(A)
(c) ker(B)
(d) Im(B)
(e) ker(B circ A)
(f) Im(B circ A)
Verifique que dim(Im(T))= posto de [T] e dim(ker(T))= nulidade de [T] nesses casos. NOTA: O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas da sua forma escalonada. A nulidade de uma matriz (pelo teorema núcleo-imagem) é o número de colunas dessa matriz menos seu posto.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
A=0&10&20&1, B=0&0&01&2&1-1&0&0,
onde A:Bbb R^2toBbb R^3 e B:Bbb R^3toBbb R^3. Vamos usar que
ker(T)=vmid T(v)=0, achando as equações lineares correspondentes;
Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de [T];
Teorema posto–nulidade: dimker(T)+dimIm(T)= número de colunas de [T].
Passo 2
Para , as colunas são e .
Logo
pois . Para resolvemos
Portanto
Passo 3
Para
Para resolver
portanto . Logo
Passo 4
Na composição , temos
Logo
e dá , ou seja
Passo 5
Verificamos o posto e a nulidade de cada matriz:
[A] tem posto 1 (1 coluna não nula) e nulidade 2-1=1.
[B] tem posto 2 (2 colunas independentes) e nulidade 3-2=1.
[Bcirc A] tem posto 1 e nulidade 2-1=1.
Isto confirma que dimIm=T=posto e dimker=T=nulidade.