Partindo de
e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
usando a ideia de que
e diferenciação implícita. O conteúdo é derivada de função inversa, e vamos precisar da regra da cadeia e da identidade trigonométrica
.
Passo 2
Definimos
. Isso significa que
. A partir daí, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Aplicando diferenciação implícita em
, usando a regra da cadeia, obtemos:
Ou seja,
Isolamos
:
Mas como
, temos
, então pela identidade trigonométrica
Logo
(escolhemos o sinal positivo pois
produz
no intervalo
).
Passo 3
Substituindo
em
, chegamos à derivada desejada:
No final, concluímos que a derivada de
é
.