Partindo de f circ f^-1(x)=x e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
dd x arcsin x=1raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de arcsin x usando a ideia de que f(f^-1(x))=x e diferenciação implícita. O conteúdo é derivada de função inversa, e vamos precisar da regra da cadeia e da identidade trigonométrica sin^2y+cos^2y=1.

Passo 2

Definimos y=arcsin x. Isso significa que sin y = x. A partir daí, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aplicando diferenciação implícita em sin y = x, usando a regra da cadeia, obtemos:
ddx(sin y)=ddx(x)
Ou seja,
cos y cdot dydx = 1
Isolamos dydx:
dydx = 1cos y
Mas como y=arcsin x, temos sin y = x, então pela identidade trigonométrica
cos^2y = 1 - sin^2y = 1 - x^2
Logo cos y = raiz1 - x^2 (escolhemos o sinal positivo pois arcsin x produz y no intervalo [-tfracpi2,tfracpi2]).

Passo 3

Substituindo cos y = raiz1 - x^2 em dydx = 1cos y, chegamos à derivada desejada:
dydx = 1raiz1-x^2
No final, concluímos que a derivada de arcsin x é 1raiz1-x^2.

Resposta

ddxarcsin x = 1raiz1 - x^2

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