Cada uma das equações a seguir determina y como uma função implícita de x. A mesma equação permite também obter y como função explícita de x. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar d yd x usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter y explicitamente como função de x.
(iii) Calcular a derivada d yd x a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
y^3=x^2x^2-1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita y^3 = x^2x^2 - 1 e pede: derivar implicitamente para achar dydx, depois resolver para y explicitamente e, por fim, derivar a forma explícita para confirmar o resultado.

Passo 2

Derivando os dois lados de y^3 = x^2x^2 - 1 em relação a x, aplicamos a regra da cadeia à esquerda e a regra do quociente à direita.
Na esquerda: ddx(y^3)=3y^2dydx.
Na direita: ddxl(x^2x^2-1r)=2x(x^2-1)-x^2cdot2x(x^2-1)^2=-2x(x^2-1)^2

Passo 3

Igualando as duas derivadas e isolando dydx obtemos: 3y^2dydx=-2x(x^2-1)^2Longrightarrow dydx=-2x3y^2(x^2-1)^2

Passo 4

Resolvendo y^3=x^2x^2-1 para y temos a raiz cúbica: y=l(x^2x^2-1r)^1/3

Passo 5

Derivando explicitamente y=(x^2/(x^2-1))^1/3: aplicamos a regra da cadeia e do quociente, chegando a dydx=13l(x^2x^2-1r)^-2/3cdot-2x(x^2-1)^2

Passo 6

Percebemos que l(x^2x^2-1r)^-2/3=y^-2, de modo que dydx=-2x3(x^2-1)^2,y^-2=-2x3y^2(x^2-1)^2,igual ao resultado da derivação implícita.

Resposta

dydx=-2x3y^2,(x^2-1)^2

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