Cada uma das equações a seguir determina
como uma função implícita de
. A mesma equação permite também obter
como função explícita de
. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar
usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter
explicitamente como função de
.
(iii) Calcular a derivada
a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
(i) Encontrar
(ii) Resolver a equação de modo a obter
(iii) Calcular a derivada
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede: derivar implicitamente para achar
, depois resolver para
explicitamente e, por fim, derivar a forma explícita para confirmar o resultado.
Passo 2
Derivando os dois lados de
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia à esquerda e a regra do quociente à direita.
Na esquerda: .
Na esquerda:
Na direita:
Passo 3
Igualando as duas derivadas e isolando
obtemos:
Passo 4
Resolvendo
para
temos a raiz cúbica:
Passo 5
Derivando explicitamente
: aplicamos a regra da cadeia e do quociente, chegando a
Passo 6
Percebemos que
, de modo que
igual ao resultado da derivação implícita.