Use a Definição 5.2.1 e mostre que, para qualquer curva suave C entre z0 e zk^*=zk. Sugestão: a integral existe. Escolha zk^*=zk-1 e .]

Passo 1

O enunciado pede para provar que, usando a definição de integral de linha pela soma de Riemann (Definição 5.2.1), para qualquer curva suave C que liga z₀ a zₙ temos integralC z,dz = tfrac12(zn^2 - z0^2). Vamos usar a existência da integral e a fórmula de soma de Riemann para f(z)=z.

Passo 2

Escolha uma partição P={z₀,z₁,…,zₙ} de C e defina De. A soma de Riemann é S(P)=sumk=1^n zk^*,De. Primeiro, tome o ponto de amostragem zk^* = zk e chame essa soma de S1(P)=sumk=1^n zk,De.

Passo 3

Aplique a identidade algébrica para cada termo:
zk,De

Passo 4

Somando sobre k de 1 a n obtemos
S1(P) = sumk=1^n zk,De

Passo 5

Note que a soma telescópica dá sumk=1^n(zk^2 - zk-1^2) = zn^2 - z0^2. Assim
S1(P) = tfrac12l(zn^2 - z0^2r) + tfrac12sumk=1^nl(De

Passo 6

Como C é suave, seu comprimento é finito e sum(De quando o módulo da partição tende a zero. Logo
lim|P|to0S1(P) = tfrac12l(zn^2 - z0^2r)

Passo 7

Escolhendo em vez disso zk^* = zk-1, repete-se o raciocínio e obtém-se
S2(P) = tfrac12l(zn^2 - z0^2r) - tfrac12sumk=1^n(De
que também converge para tfrac12(zn^2 - z0^2). Dessa forma, pela unicidade do limite, concluímos que a integral existe e vale o mesmo para qualquer escolha de pontos amostrais.

Passo 8

Como ambos os esquemas de soma levam ao mesmo limite, temos integralC z,dz = tfrac12(zn^2 - z0^2).

Resposta

tfrac12l(zn^2 - z0^2r)

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