Use a Definição 5.2.1 e mostre que, para qualquer curva suave
entre
e
. Sugestão: a integral existe. Escolha
e
.]
Passo 1
O enunciado pede para provar que, usando a definição de integral de linha pela soma de Riemann (Definição 5.2.1), para qualquer curva suave C que liga z₀ a zₙ temos
. Vamos usar a existência da integral e a fórmula de soma de Riemann para f(z)=z.
Passo 2
Escolha uma partição P={z₀,z₁,…,zₙ} de C e defina
. A soma de Riemann é
. Primeiro, tome o ponto de amostragem
e chame essa soma de
.
Passo 3
Aplique a identidade algébrica para cada termo:
Passo 4
Somando sobre k de 1 a n obtemos
Passo 5
Note que a soma telescópica dá
. Assim
Passo 6
Como C é suave, seu comprimento é finito e
quando o módulo da partição tende a zero. Logo
Passo 7
Escolhendo em vez disso
, repete-se o raciocínio e obtém-se
que também converge para
Passo 8
Como ambos os esquemas de soma levam ao mesmo limite, temos
.