Mostre que se
converge e se
diverge, então
é divergente. Use este fato para justificar porque a série
diverge.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se uma série
converge e outra
diverge então a série soma
diverge, e depois usar esse fato para justificar a divergência de
. O conteúdo principal é teoria de séries infinitas, em especial a propriedade de que a soma e a diferença de séries convergentes são convergentes.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
converja mesmo tendo
convergente e
divergente.
Passo 3
Usamos a propriedade de séries: se duas séries convergem então a série formada pela diferença termo a termo também converge. Como estamos supondo que
e
convergem, teríamos que
converge, o que contradiz a hipótese de que
diverge. Logo
deve divergir.
Passo 4
No caso específico, identifiquemos
e
. Sabemos que
é uma série geométrica com soma finita e que
é a série harmônica, que diverge. Pelo resultado geral,
diverge.
Resposta
A série
diverge.