Mostre que se sumn=1^infty an converge e se sumn=1^infty bn diverge, então é divergente. Use este fato para justificar porque a série diverge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se uma série sum an converge e outra sum bn diverge então a série soma sum(an+bn) diverge, e depois usar esse fato para justificar a divergência de sum(1/n+1/2^n-1). O conteúdo principal é teoria de séries infinitas, em especial a propriedade de que a soma e a diferença de séries convergentes são convergentes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que sumn=1^infty(an+bn) converja mesmo tendo sumn=1^infty an convergente e sumn=1^infty bn divergente.

Passo 3

Usamos a propriedade de séries: se duas séries convergem então a série formada pela diferença termo a termo também converge. Como estamos supondo que sum(an+bn) e sum an convergem, teríamos que
sumn=1^infty bn = sumn=1^inftyl((an+bn)-anr) = sumn=1^infty(an+bn) - sumn=1^infty an
converge, o que contradiz a hipótese de que sum bn diverge. Logo sum(an+bn) deve divergir.

Passo 4

No caso específico, identifiquemos an=1/2^n-1 e bn=1/n. Sabemos que sumn=1^infty1/2^n-1 é uma série geométrica com soma finita e que sumn=1^infty1/n é a série harmônica, que diverge. Pelo resultado geral, sum(1/2^n-1+1/n) diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(1/n + 1/2^n-1r) diverge.

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