Partindo de d U=T d S-P d V+\mu d n, obtenha
A energia livre de Helmholtz, H=U-T S, e suas respectivas equações de estado.

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial fundamental da energia interna
dU = T\,dS \;-\; P\,dV \;+\;\mu\,dn
e pede para definirmos a energia livre de Helmholtz
H = U \;-\; T\,S
e, a partir daí, obter as equações de estado associadas a esse potencial termodinâmico.

Passo 2

Definimos
H = U \;-\; T\,S.
Para encontrar o diferencial dH, aplicamos a regra de derivação de um produto à parte -T\,S.

Passo 3

Calculamos
dH = dU \;-\; d(T\,S) \quad\text{com}\quad d(T\,S)=T\,dS + S\,dT.
Logo,
dH = dU \;-\; T\,dS \;-\; S\,dT.

Passo 4

Substituindo dU pela expressão dada, obtemos
dH = \bigl(T\,dS - P\,dV + \mu\,dn\bigr) - T\,dS - S\,dT
e, ao cancelar T\,dS, fica
dH = -\,S\,dT \;-\; P\,dV \;+\;\mu\,dn.

Passo 5

Comparando com a forma geral de um potencial cujas variáveis naturais são (T,V,n), lemos as equações de estado:
S = -\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V,n}, \qquad P = -\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,n}, \qquad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{T,V}.

Resposta

H = U - T\,S,
dH = -S\,dT - P\,dV + \mu\,dn,
S = -\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V,n}, \quad P = -\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,n}, \quad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{T,V}.

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