Partindo de d U=T d S-P d V+\mu d n, obtenha
O Grande potencial termodinâmico, \Phi=F-\mu n=U-T S-\mu n, e suas respectivas equações de estado.

Passo 1

O enunciado parte da relação fundamental
dU = T\,dS \;-\; P\,dV \;+\; \mu\,dn
e pede para construir o Grande Potencial Termodinâmico
\Phi = F - \mu\,n = U - T\,S - \mu\,n
e, a partir dele, obter as equações de estado (as expressões de S, P e n como derivadas de \Phi). Para isso vamos usar transformações de Legendre e identificar as variáveis naturais de cada potencial.

Passo 2

Definimos primeiro a energia livre de Helmholtz
\;F = U - T\,S.
Aplicando diferencial em F e usando dU = T\,dS - P\,dV + \mu\,dn, temos
dF = dU - T\,dS - S\,dT = \bigl(T\,dS - P\,dV + \mu\,dn\bigr) - T\,dS - S\,dT = -S\,dT \;-\; P\,dV \;+\; \mu\,dn.

Passo 3

Agora definimos o Grande Potencial
\Phi = F - \mu\,n = U - T\,S - \mu\,n.
Diferenciando e usando o resultado de dF:
d\Phi = dF - \mu\,dn - n\,d\mu = \bigl(-S\,dT - P\,dV + \mu\,dn\bigr) - \mu\,dn - n\,d\mu = -S\,dT \;-\; P\,dV \;-\; n\,d\mu.
Portanto o diferencial de \Phi é
d\Phi = -S\,dT \;-\; P\,dV \;-\; n\,d\mu,
mostrando que as variáveis naturais de \Phi são (T,V,\mu).

Passo 4

Das coeficientes de dT, dV e d\mu em d\Phi extraímos as equações de estado:
S = -\biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial T}\biggr)_{V,\mu}, \qquad P = -\biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial V}\biggr)_{T,\mu}, \qquad n = -\biggl(\frac{\partial \Phi}{\partial \mu}\biggr)_{T,V}.

Resposta

\displaystyle d\Phi = -S\,dT - P\,dV - n\,d\mu
\displaystyle S = -\bigl(\partial \Phi/\partial T\bigr)_{V,\mu},
\displaystyle P = -\bigl(\partial \Phi/\partial V\bigr)_{T,\mu},
\displaystyle n = -\bigl(\partial \Phi/\partial \mu\bigr)_{T,V}.

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