Partindo de d U=T d S-P d V+\mu d n, obtenha
A Entalpia, H=U+P V, e suas respectivas equações de estado.

Passo 1

O enunciado parte da relação fundamental para a energia interna
dU = T\,dS \;-\; P\,dV \;+\;\mu\,d n
e nos pede para definir a entalpia
\displaystyle H = U + P\,V
e obter as suas equações de estado, ou seja, as expressões de T, V e \mu em termos de derivadas parciais de H.

Passo 2

Vamos calcular o diferencial de
\displaystyle H = U + P\,V.
Usando a regra do produto em P\,V e substituindo dU, temos
dH = dU + P\,dV + V\,dP = \bigl(T\,dS - P\,dV + \mu\,dn\bigr) + P\,dV + V\,dP.
Os termos -P\,dV e +P\,dV se cancelam, sobrando
dH = T\,dS + V\,dP + \mu\,dn.

Passo 3

A forma
dH = T\,dS + V\,dP + \mu\,dn
mostra que a entalpia H é função natural das variáveis S, P e n, ou seja, H=H(S,P,n). Por definição de derivadas parciais, cada coeficiente na forma diferencial corresponde a uma equação de estado.

Passo 4

Lendo a forma diferencial de H, obtemos diretamente as equações de estado:
T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,n}, \qquad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,n}, \qquad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{S,P}.

Resposta

A entalpia é
H = U + P\,V
e seu diferencial é
dH = T\,dS + V\,dP + \mu\,dn.
As equações de estado associadas são
T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,n}, \quad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,n}, \quad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{S,P}.

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